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§13 怎样计算磁感应强度 在稳恒磁场中的磁感应强度，可用毕奥-沙伐尔定律和安培环路定律来求解。 毕奥-沙伐尔定律在成块中的地位，好像静电场中的库仑定律一样，是很重要的。它是计算磁感应强度最普遍、最基本的方法。安培环路定律，是毕奥-沙伐尔定律的基础上加上载流导线无限长等条件而推导出来的。困此，用安培环路定律遇到较大的限制。但是，有一些场合，应用安培环路定律往往给我们带来不少方便。 一、用毕奥-沙伐尔定律计算 真空中有一电流元，在与它相距处的地方所产生的磁感应强度，由毕奥-沙伐尔定律决定。 式中，是由电流元指向求点的距离矢量。式(1)是矢量的矢积，故垂直于与组成的平面，而且服从右手螺旋法则。真空的磁导率。 是一个可叠加的物理量，因此，对于一段(弯曲的或直的)载流导线L所产生的磁感应强度为： 基本题例 在磁场的计算中，许多习题是载流直导线和圆弧导线不同组合而成的。因此，必须熟练掌握一段载流的长直导线和一段载流的圆弧导线的磁场的计算公式。 图2-13-1所示为一段长直载流导线，它的磁感应强度的计算公式为： 或： 当载流直导线“无限长”时，；半无限长时， 运用时，应注意a是求B点到载流导线的垂直距离；辨认θ与β的正负，请辨认图2-13-2中的θ，β的正负。 一段载流圆弧，半径为R，在圆心O点的磁感应强度为： 方向由右手螺旋法则决定。 当时， 当时， 组合题例 ［例1］已知如图2-13-3所示，求P点的磁感应强度。 ［解法一］由图可见，此载流导线由两根半无限长载流导线和一个半圆弧组成。 两根半无限长的载流导线在P点产生的磁感应强度为： 载流半圆弧在P点产生的磁感应强度为发： 故总的磁感应强度： ［解法二］图示载流导线也可以看成两根无限长载流导线和一个载流圆环组成(如图2-13-3)。将所得结果除以2，即为题设答案。 两根无限长载流导线和一个载流圆环在P点所产生的磁感应强度分别为和，它们的和被2除，即得与解法一相同的结果。 ［例2］赫姆霍兹线圈由两个细的平面线圈组成(图2-13-4)。设半径为a，其中心间的距离为。试求O点的磁感应强度与OO1中点的磁感应强度，并将两者的结果加以比较。 ［分析］O点的磁感应强度B0是由两个线圈共同产生的，因此，可用叠加原理方便地求得。 ［解］设两个线圈中的电流都是，则在O点产生的磁感应强度为： 总的磁感应强度为： 同理可得中点的磁感应强度： 两者的相对差值为： 可见，环心中点磁感应强度的大小是差不多的。 在磁感应强度的计算中，长直载流导线与载流圆弧组合而成的习题不少，如图2-13-5所示。将各图示情况中的O点之磁感应强度求出后，对于长直载流导线与载流圆弧在O点产生的磁感应强度公式就能熟练地掌握，对叠加原理就能领会更深，对于合磁场方向的判断能力也会大大地提高。 ［例3］载流I的方线圈，边长为2a。求其轴线上的磁感应强度的分布(图2-13-6) ［分析］当求点P与载流导线平面或线圈不是共面时，为了容易建立空间概念，能较顺利地求解，必须按照题设条件仔细地作好图。进而容易看出这个空间是由四个平面简单组成的。例如，长直载流导线AB与P共面，因而很容易用长直载流导线外一点的计算，求得在P点的磁感应强度，又因为AB与CD关于Z轴对称，因而不需要计算出。由于、载流在P点所产生的、，在数值上与相等，而方向只要用右手法就很快可以确定。于是其实主要是如何求的问题了。 ［解］首先计算载流导线AB在轴线上产生的磁感应强度分布。对P点而言，有： 式中。在△PAB中，由于PA=PB，故为等腰三角形，由此可得： 将、代入BAB表达式，得： 的方向和PE、AB组成的平面相垂直(如图2-13-6)，它在z轴上的分量为： 式中γ是与轴线的夹角，由图可知，它是和∠PEO相等的，故有： 这个结果正确吗？让我们以特例来检查一下：当时， 。显然这是正确的，可见上述如此冗长的表达式是正确的。 方形线圈四条载流I的直线在P点产生的，两两互相对称，故只剩下z轴方向分量是互相加强的，而且是相等的。 因此载流方线圈在轴上的磁感应强度沿OZ方向，其大小为： ［讨论］当时，这表明在远场的情况下，载流线圈的几何形状形状已无关紧要。不管线圈是什么形状，只要Pm相同，B的表达式都 是相同的。 关于积分变量的统一问题 应用毕奥-沙伐尔定律解题时，象长直带电细线的电场强度计算一样，常常会遇到积分号中包含几个相关变量问题。这时必须将相关变量由统一变量表示，方能进行积分。 积分变量 的统一原则，也是可以任意选择的，不管是否在积分号里面，只要能统一就行。当然具体决择时，看方便而定。 现以长载流导线在P点产生的磁感应强度计算为例，来说明怎样统一积分变