处理好猜测与证明的关系方程组加.docVIP

推理能力 一、推理能力的培养是数学课程的重要目标 培养学生的推理能力是数学教育的重要目标之一。推理既包括以三段论为主要形式的演绎推理，又包括以归纳、类比为主要途径的合情推理。这两种推理形式无论是在数学的研究中还是在数学的学习中都是十分重要的。合情推理是获得猜测提出猜想的有效途径，在数学的发现中扮演着不可或缺的角色。演绎推理是数学学科的特点，是确认数学命题为真的推理。但演绎推理所论证的对象往往是由合情推理得来的，同时，由合情推理所得到的猜测必须经过证明（即演绎推理）才能确定其正确性，因此，在数学的发展过程中二者是相辅相成、缺一不可的。 关于合情推理和演绎推理在人的发展和日常工作中的重要意义，著名的美国数学家和数学教育家波利亚（G．Polya）的一段话给出了很好的回答：“一个认真想把数学作为其终身职业的人，要学好论证推理，---------”。 在以往的数学教育教学中，我们对论证推理给与了充分的关注，在我们强调的基础知识、基本技能中，都表现出对逻辑的强调，即给出已知条件，求证一个结论，这是演绎的方法。但学生们试着去推。不利于创新型的人才培养，将前三个等式称之为启发式联想，因为对这三个等式的观察与分析，能够启发观察者获得对某种规律的初步认识，但这样的认识是模糊的；接下来的算式波利亚称之为支持性联想，也就是对前面得到的较为模糊的认识的进一步的清晰和认可，这个过程实际上就是获得了猜测的过程。继续下去，对第一个问题的回答，我们可以看成是对前面的猜测进行验证的过程，也可以看成是支持性联想的一部分。而对于第二个问题的回答，就已经是将发现的规律进行一般化的表述，形成猜想了。最后则是给出形式化的数学证明。 在完成这个问题的解答过程中，既包含了对所给的算式的观察、分析和类比，又要求在此基础上归纳和探索出规律，并进一步对规律进行数学的表述，最后对此规律进行推理证明。因此，笔者认为这样的一个问题就为学生进行合情推理和演绎推理提供了可能，作为试题也能全面地考察学生两种推理能力的情况。 上面这个例子中，无论是类比、归纳还是推理证明，都是学生们能够完成的，因此，它既适合对学生相应能力的培养，也适合考察学生相关的能力和水平。 对于小学生或者初中学生来说，通过对某些问题的观察、分析，进而发现一定的规律并获得猜测是可能做到的，但是要证明这个猜测的正确性有时就是学生们力所不能及得了。例如， 问题② 计算21-1=1，22-1=3，23-1=7，24-1=15，25-1=31，…。归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测22006-1的个位数字是（ ）。 问题③ 用计算器计算： 请你猜测的结果为多少？ 对于初中生来说，对观察到的结果进行分析，发现其中的规律并猜测结果是可以做到的，但是证明则不是本阶段数学学习所要求的了。那么，与前面的问题①相比，在这两个问题中，主要是希望学生通过计算和观察，发现计算结果中的一些规律，对规律的验证只能是再多计算几个式子而已，而对规律的证明在初中阶段就不在要求之列了。因此，这样的问题对学生来说容易形成固定的模式，缺少了一定的挑战性，归纳的味道也不足。 2、问题的提出和呈现应保证探究性和科学性 还有一些问题，本身是具有探究价值的，但由于问题的提法不当，而使问题的可探究性大打折扣。例如， 问题④ 某公园的侧门口有九级台阶，小明一步只能上1级台阶或2级台阶，小明发现当台阶数分别为1级、2级、3级、4级、5级、6级、7级……逐渐增加时，上台阶不同方法的种数依次为1、2、3、5、8、13、21、……，这就是著名的菲波那契数列，那么小聪上这九级台阶共有 种不同的方法。 实际上，这是一个富有一定探索和推理空间的问题，但由于出题者“不打自招”地将问题的规律道了出来，而且是强加给学生，所以学生思考此问题时就只能是对几个冰冷的数字进行加减计算，发现其规律了。其中还很容易使学生将归纳和推理证明混为一谈，即把归纳代替了推理。 再看下面的例子，其中的问题更加需要给与关注，否则就会出现学科上的问题。例如： 问题⑤ 小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下， 输入 … 1 2 3 4 5 … 输出 … … 当输入数据为8时，输出的数据为 。 问题⑥ 观察分析下列数据，寻找规律： 0，，3，2，，3，…… 那么第10个数据是 。 类似这样的例子在目前的各种练习册以及考试的试题中会经常见到，而且通常从这类问题的表述上我们可以看出，它们所要求的答案似乎是唯一确定的，学生们需要通过观察、试误等的方法找出所给出的一组数的特征，并依此特征给出答案。 如，对于问题⑤，答案是这样给出的： 因为，……所以输入n时，输出的数据为，所以当n=8时，输出的数据为。 类似的，问题⑥给出的答案是： 因为0=， ，…