复平面点集.docVIP

§2 复平面上的点集 一、教学目标或要求： 熟练掌握点集的基本概念 二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）： 教学内容：复平面的点集 邻域 开集 区域 单连通区域 重点： 邻域、区域 难点： 约当曲线 三、教学手段与方法： 讲授、练习 四、思考题、讨论题、作业与练习：习题一 6－11 §2 复平面上的点集 1.平面的几个基本概念 定义1.1 点的邻域为复数集合，记为。点的去心邻域为复数集合，记为。无穷远点的邻域为复数集合，记为。 定义1.2　给定点集，及点。称为的聚点或极限点指：的任一邻域内都有的无穷多个点。 若，但非的聚点，则称为的孤立点; 若，又非的聚点，则称为的外点。若有一邻域全含于内，则称为的内点。若的任一邻域内，同时有属于和不属于的点，则称为的边界点。边界点的全体称为的边界。记作。 定义1.3　若点集的每个聚点都属于，则称为闭集；若点集的点皆为内点，则称为开集。 定义1.4　点集称为有界集，若使有。 2.区域与约当曲线定义1.5　具备下列性质的非空点集称为区域： (1) 为开集； (2) 中任意两点可用全在中的折线连接。 定义1.6 区域加上它的边界称为闭域，记为 复平面上的区域往往用不等式表示，如：以原点为心，为半径的圆 ：。以原点为心，为半径的闭圆 ：。上半平面：， 下半平面：， 左半平面：， 右半平面：。带形区域： 同心圆环： 定义1.7　设是实变数的两个实函数，在闭区间上 连续，则由方程　　　　　　　　　 所决定的点集，称为复平面上的一条连续曲线。上式称为的参数方程 分别称为的起点和终点 。对某点，若有， 使，则称点为曲线的重点。凡无重点的连续曲线称为简单曲 线或约当曲线；的简单曲线称为简单闭曲线。若存在、连 续且不全为零，则称简单曲线为光滑曲线。 定义1.8　可求长的连续曲线，若对任意实数列 存在，则称 为可求长曲线，并记 为曲线 的长度。 定义1.8　.光滑（闭）曲线在都存在.连续且不全为零 为闭曲线且　。 定义1.10 由有限条光滑曲线衔接而成的连续曲线称为逐段光滑曲线。 因此，连续曲线有以下四种情况:　　　　　，它们具有如下性质： (1) 彼此不交 (2) 是一个有界区域（称为的内部）； (3) 是一个无界区域（称为的外部）； (4) 若简单折线的一个端点P属于，另一个端点属于，则P 必与有交点。 定义1.11 对于区域，若中任意一条简单闭曲线的内部仍属于，则称为单连通区域。不是单连通区域的区域称为复连通区域。　　单连通的特征是“无洞”，而“有洞”就是多连通。如：圆；简单闭曲线的内部都是单连通区域，圆环 是多连通区域。 　　D内任意一条简单闭曲线，在D内可以经过连续的变形而缩成一点，而.　　　　　　　　　　例 试求满足条件 的点的集合。 解法1　将点所满足的条件转化为关于实数的条件，即将问题归为实数来考虑。 设，得 即为点所满足的条件。由此得知点的集合为虚轴。 解法2　从所给条件的几何意义考虑。 因表示点到点1的距离，表示点到点的距离，所以，等式 表示点到点1的距离与点到点的距离相等，因此，满足该等式的点的集合是虚轴。