届新课标数学考点预测：导数及其应用.doc

2009届新课标数学考点预测（15） 导数及其应用 一、考点介绍 导数属于新增内容，是高中数学知识的一个重要的交汇点，命题范围非常广泛，为高考考查函数提供了广阔天地，处于一种特殊的地位，不但一定出大题而相应有小题出现。主要考查导数有关的概念、计算和应用。利用导数工具研究函数的有关性质，把导数应用于单调性、极值等传统、常规问题的同时，进一步升华到处理与自然数有关的不等式的证明，是函数知识和不等式知识的一个结合体，它的解题又融合了转化、分类讨论、函数与方程、数形结合等数学思想与方法，不但突出了能力的考查，同时也注意了高考重点与热点，这一切对考查考生的应用能力和创新意识都大有益处。 1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念． 2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数． 3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值． 二、高考真题 1.（2008全国一21）．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） 已知函数，． （Ⅰ）讨论函数的单调区间； （Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围． 解：（1） 求导： 当时，， 在上递增 当，求得两根为 即在递增，递减， 递增 （2），且 解得： 2.（2008全国二21）．（本小题满分12分） 设，函数． （Ⅰ）若是函数的极值点，求的值； （Ⅱ）若函数，在处取得最大值，求的取值范围． 解：（Ⅰ）． 因为是函数的极值点，所以，即，因此． 经验证，当时，是函数的极值点． 4分 （Ⅱ）由题设，． 当在区间上的最大值为时， ， 即．故得． 9分 反之，当时，对任意， ， 而，故在区间上的最大值为． 综上，的取值范围为． 12分 3.（2008山东卷21）（本小题满分12分） 已知函数其中n∈N*,a为常数. （Ⅰ）当n=2时，求函数f(x)的极值； （Ⅱ）当a=1时，证明：对任意的正整数n,当x≥2时，有f(x)≤x-1. （Ⅰ）解：由已知得函数f(x)的定义域为{x|x＞1}， 当n=2时， 所以 （1）当a＞0时，由f(x)=0得 ＞1，＜1， 此时 f′（x）=. 当x∈（1，x1）时，f′（x）＜0,f(x)单调递减； 当x∈（x1+∞）时，f′（x）＞0, f(x)单调递增. （2）当a≤0时，f′（x）＜0恒成立，所以f(x)无极值. 综上所述，n=2时， 当a＞0时，f(x)在处取得极小值，极小值为 当a≤0时，f(x)无极值. （Ⅱ）证法一：因为a=1,所以 当n为偶数时， 令 则 g′（x）=1+＞0（x≥2）. 所以当x∈[2,+∞]时，g(x)单调递增， 又 g(2)=0 因此≥g(2)=0恒成立， 所以f(x)≤x-1成立. 当n为奇数时， 要证≤x-1,由于＜0，所以只需证ln(x-1) ≤x-1, 令 h(x)=x-1-ln(x-1), 则 h′（x）=1-≥0（x≥2）, 所以 当x∈[2，+∞]时，单调递增，又h(2)=1＞0， 所以当x≥2时，恒有h(x) ＞0,即ln（x-1）＜x-1命题成立. 综上所述，结论成立. 证法二：当a=1时， 当x≤2，时，对任意的正整数n，恒有≤1， 故只需证明1+ln(x-1) ≤x-1. 令 则 当x≥2时，≥0，故h(x)在上单调递增， 因此　　当x≥2时，h(x)≥h(2)=0，即1+ln(x-1) ≤x-1成立. 故　　当x≥2时，有≤x-1. 即f（x）≤x-1. 4..（2008湖南卷21）（本小题满分13分） 已知函数f(x)=ln2(1+x)-. (I) 求函数的单调区间; （Ⅱ）若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数）. 求的最大值. 解: （Ⅰ）函数的定义域是， 设则 令则 当时， 在（-1，0）上为增函数， 当x＞0时，在上为减函数. 所以h(x)在x=0处取得极大值，而h(0)=0,所以， 函数g(x)在上为减函数. 于是当时， 当x＞0时， 所以，当时，在（-1，0）上为增函数. 当x＞0时，在上为减函数. 故函数的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为. （Ⅱ）不等式等价于不等式由知， 设则 由（Ⅰ）知，即 所以于是G(x)在上为减函数. 故函数G（x）在上的最小值为 所以a的最大值为 5..（2008