届高考数学理二轮黄金考点汇编考点导数的应用单调性、最值、极值解析版.doc

考点10 导数的应用（单调性、最值、极值） 【】，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2. 【2014高考安徽卷第18题】设函数,其中. 讨论在其定义域上的单调性； 当时，求取得最大值和最小值时的的值. 【解析】 考点：1.含参函数的单调性；2.含参函数的最值求解. 3. 【2014高考北京理第18题】已知函数. （1）求证：； （2）若对恒成立，求的最大值与的最小值. 、在区间上的情况如下表： 4. 【2014高考辽宁理第21题】已知函数，. 证明：（Ⅰ）存在唯一，使； (Ⅱ)存在唯一，使，且对（1）中的. ，所以，即命题得证. 5. 【2014高考全国1第21题】设函数，曲线在点处的切线方程为 （I）求 （II）证明： 【答案】（I）；（II）详见解析. 【解析】 试题分析：（I）由切点在切线上，代入得①．由导数的几何意义得②，联立①②求；（II）证明成立，可转化为求函数的最小值，只要最小值大于1即可．该题不易求函数的最小值，故可考虑将不等式结构变形为，分别求函数和的最值，发现在的最小值为，在的最大值为．且不同时取最值，故成立，即注意该种方法有局限性只是不等式的充分不必要条件，意即当成立，最值之间不一定有上述关系． 6. 【2014高考全国2第21题】已知函数=. （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）设，当时，,求的最大值； （Ⅲ）已知，估计ln2的近似值（精确到0.001） 【答案】（Ⅰ）函数在R上是增函数；（Ⅱ）2；（Ⅲ） 【解析】试题分析：本题第（Ⅰ）问，判断函数的单调，关键是判断导数的正数；对第（Ⅱ）问，可构造函数，对（Ⅲ）问，可根据的取值讨论. 试题解析：（Ⅰ）因为，当且仅当时等号成立，所以函数在R上是增函数； 【方法规律】 求可导函数单调区间的一般步骤和方法 (1)确定函数f(x)的定义域． (2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它们在定义域内的一切实数根． (3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间． (4)确定f′(x)在各个开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性． 【解题技巧】 讨论函数的单调区间的关键是讨论导数大于0或小于0的不等式的解集，一般就是归结为一个一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解得到导数等于0的根的情况下，根的大小是分类的标准 【易错点睛】 （1）注意函数定义域的确定． （2）解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f′(x)＝0时的情况；区分极值点和导数为0的点．已知aR，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(xR，e为自然对数的底数)． (1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间； (2)若函数f(x)在 (－1,1)上单调递增，求a的取值范围； (3)函数f(x)能否为R上的单调函数，若能，求出a的取值范围；若不能，请说明理由． (2)∵函数f(x)在(－1,1)上单调递增， ∴f′(x)≥0对x∈(－1,1)都成立． ∵f′(x)＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex ∴[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0对x∈(－1,1)都成立． ∵ex0， －x2＋(a－2)x＋a≥0对x(－1,1)都成立， 即x2－(a－2)x－a≤0对x(－1,1)恒成立． 设h(x)＝x2－(a－2)x－a 只须满足，解得a≥. (3)若函数f(x)在R上单调递减， 则f′(x)≤0对xR都成立，即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≤0对xR都成立． ex0，x2－(a－2)x－a≥0对xR都成立． Δ＝(a－2)2＋4a≤0，即a2＋4≤0，这是不可能的． 故函数f(x)不可能在R上单调递减． 若函数f(x)在R上单调递增，则f′(x)≥0对xR都成立，即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0对xR都成立． ex0，x2－(a－2)x－a≤0对xR都成立． 而x2－(a－2)x－a≤0不可能恒成立， 故函数f(x)不可能在R上单调递增． 综上可知函数f(x)不可能是R上的单调函数． 【】 例2：(2009·辽宁)已知函数f(x)＝x2－ax＋(a－1)ln x，a1. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)证明：若a5，则对任意x1，x2(0，＋∞)，x1≠x2，有－1. 时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2. 【2014高考江西理第18题】已知函数. （1）当时，求的极值； （2）若在区间上单调递增，求b的取值范围. 对恒成立，即，，即 （为常数，是自然