数学思想与数学文化-历史上的三次数学危机.ppt

* 罗素把他发现的悖论写信告诉弗雷 格。弗雷格在他的《算术基础》一书的末 尾无可奈何地写道：“一个科学家遇到的 最不愉快的事莫过于，当他的工作完成 时，基础崩塌了。当本书即将印刷时，罗 素先生的一封信就使我陷入这样的尴尬境 地。” * 2） 罗素悖论 在叙述罗素悖论之前,我们先注意到 下边的事实：一个集合或者是它本身的成 员(元素),或者不是它本身的成员(元素)， 两者必居其一。罗素把前者称为“异常集 合”，把后者称为“正常集合”。 * 例如,所有抽象概念的集合，本身还是抽象概念。即，它是这一集合本身的元素，所以是“异常集合”。但是，所有人的集合，不是人，即，它不是这一集合本身的元素，所以是“正常集合”。 再例如，所有集合的集合，本身还是集合，即，它是这一集合本身的元素，所以是“异常集合”。但是，所有星星的集合不是星星，即，它不是这一集合本身的元素，所以是“正常集合”。 * 罗素当年的例子 “异常集合” 1： 不多于29个字母表达的句子所构成的集合 （这一集合的定义是“不多于29个字母表达的句子”，它是这一集合本身的成员） “异常集合” 2： 不是麻雀的东西所构成的集合 （“不是麻雀的东西所构成的集合”肯定不是麻雀，所以它是这一集合本身的成员） * 罗素悖论是：以 表示“是其本身成员的 所有集合的集合”（所有异常集合的集合）， 而以 表示“不是它本身成员的所有集合的集 合”（所有正常集合的集合），于是任一集合 或者属于 ，或者属于 ，两者必居其一，且 只居其一。然后问：集合 是否是它本身的 成员？（集合 是否是异常集合？） * 如果 是它本身的成员，则按 及 的定 义， 是 的成员，而不是 的成员，即 不 是它本身的成员，这与假设矛盾。即 如果 不是它本身的成员，则按 及 的定义， 是 的成员，而不是 的成员，即 是它本身的成员，这又与假设矛盾。即 悖论在于：无论哪一种情况，都得出矛盾。 * 罗素悖论的通俗化——“理发师悖论”：某村的一个理发师宣称，他给且只给村里自己不给自己刮脸的人刮脸。问：理发师是否给自己刮脸？ 如果他给自己刮脸，他就属于自己给自己刮脸的人，按宣称的原则，理发师不应该给他自己刮脸，这与假设矛盾。如果他不给自己刮脸，他就属于自己不给自己刮脸的，按宣称的原则，理发师应该给他自己刮脸，这又与假设矛盾。 * 4． 危机的消除 危机出现以后，包括罗素本人在内的许多数学家作了巨大的努力来消除悖论。当时消除悖论的选择有两种，一种是抛弃集合论，再寻找新的理论基础，另一种是分析悖论产生的原因，改造集合论，探讨消除悖论的可能。 人们选择了后一条路，希望在消除悖论的同时，尽量把原有理论中有价值的东西保留下来。 * 这种选择的理由是，原有的康托集合论虽然简明，但并不是建立在明晰的公理基础之上的，这就留下了解决问题的余地。 罗素等人分析后认为，这些悖论的共同特征（悖论的实质）是“自我指谓”。即，一个待定义的概念，用了包含该概念在内的一些概念来定义，造成恶性循环。 例如，悖论中定义“不属于自身的集合”时，涉及到“自身”这个待定义的对象。 * 为了消除悖论，数学家们要将康托 “朴素的集合论”加以公理化；并且规定构 造集合的原则，例如，不允许出现“所有 集合的集合”、“一切属于自身的集合”这 样的集合。 * 1908年，策梅洛（E.F.F.Zermelo,1871—1953）提出了由7条公理组成的集合论体系，称为Z-系统。 1922年，弗兰克（A.A.Fraenkel）又加进一条公理，还把公理用符号逻辑表示出来，形成了集合论的ZF-系统。再后来，还有改进的ZFC-系统。 这样，大体完成了由朴素集合论到公理集合论的发展过程，悖论消除了。 * 但是，新的系统的相容性尚未证明。因此，庞加莱在策梅洛的公理化集合论出来后不久，形象地评论道：“为了防狼，羊群已经用篱笆圈起来了，但却不知道圈内有没有狼”。 这就是说，第三次数学危机的解决，并不是完全令人满意的。 * 四、 三次数学危机与“无穷”的联系 我们过去就说过，无穷与有穷有本质 的区别。 现在我们可以总结说，三次数学危机 都与无穷有关，也与人