数列专题三、四、已知递推公式求通项公式.docVIP

桐庐中学高一数学竞赛辅导讲义对于由所确定的数列通项公式问题，通常可通过对递推式的变形转化成等差数列或等比数列，也可以通过构造把问题转化。根据不同的递推公式，采用相应的变形手段，达到转化的目的。一、an+1=an+f(n)型 在数列{an}中，已知an+1=，a1=2，求通项公式．． 二、an+1= f(n)·an型 例 求数列a1=，an=·an-1(n≥2)的通项公式．三、an+1= pan+q型 例 在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，有an=2an-1+2，求an．an+1，求an． 说明：本类型一般采用待定系数法：若an+1=pan+q(p≠1且p≠0)，设an+1+x=p(an+x)，即an+1=pan+(p－1)x，与原式对照得x=，故{an+1+}是等比数列． 四、an+1= pan+f(n)型 例 设数列{an}满足a1=1，an=an-1+2n-1(n≥2)，求通项公式an．说明：通过引入一些尚待确定的系数转化命题结构，经过变形与比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列）．五、an+1= pan+qn型 例 已知b≠0，b≠±1，a1=，an=·an-1+(n≥2)，写出用n和b表示an的通项公式．说明：对于递推式an+1= pan+qn，可两边除以qn+1，得，引入辅助数列bn=，得bn+1=bn+，然后可归结为类型三． 六、an+2= pan+1+qan型 例 已知数列{an}中，a1=1，a2=2，an+2=an+1+an，求an．中学数学竞赛辅导讲义 an+k=λ1an+k－1+λ2an+k－2+…+λkan， ① 其中n∈N*，λ1，λ2，…，λk是常数，λk≠0，则称{an}为k阶线性递归数列． ①称为{an}的递归方程．令an=xn(x≠0)代入①得 xk=λ1xk－1+λ2xk－2+…+λk (λk≠0)， ② 称为k阶线性递归数列{an}的特征方程． 注：所谓“线性组合”就是指各项的次数是一次的多项式．例如：an+2=2an+1－an+2，此时我们也常说“an+2可用an+1、an线性表示”． an=、an=、an+1=等都是非线性递归数列． 二、线性递归数列的通用解法——特征方程法 定理1：若②有k个相异的根x1、x2、…、xk，则对应递归方程所确定的递归数列的通项公式为an=c+ c2+…+ck，其中c1、c2、…、ck是下面线性方程组的唯一解： ． 例 (1)已知a1=1，a2=1，an+2=an+1+an+1，求an．（斐波那契数列） (2)已知a1=0，a2=2，a3=6，an+3=2an+2+an+1－2an，求an． 定理2：若特征方程②有k重根λ，则对应递归方程①所确定的数列的通项公式为an=(c1+c2n++cknk－1)λnc1、c2、…、ck是如下线性方程组的唯一解： ． 例 已知a1=1，a2=2，a3=8，an+3=6an+2－12an+1+8an，求an． 定理3：若特征方程②有λ1，k2重根λ2，…，ks重根λs (k1+k2+…+ks=k)，则对应递归方程①所确定的数列的通项公式为，其中(l=1，， 1