春季学期高等代数作业解答.doc

2013春季学期高等代数作业解答 教材习题1.4(1)第1(5)题 (第1列减第2列,第3列减第4列) = (第2行减第1行,第4行减第3行) = (第3行减第2行) = 教材习题1.4(1) 第4 题 教材习题1.4(2)第5题 习题1.6第5题 复习题1第4题 D= 解: = = = 复习题1第5题 复习题1第9题 教材习题 2.2(2)第1 (3)题 教材习题 2.2(2)第3题 教材习题 2.5(1)第2题 教材习题 2.5(3)第1（1）题 教材习题 2.5(3)第3题 教材习题 2.7(1)第3题 教材习题 2.7(2)第2题 教材习题 2.7(3)第1（1）题 复习题 2第1（3）题 复习题 2第10题 证法2：已知向量组与向量组有相同的秩，即 ，且可由线性表出。欲证可由线性表出，为此，考虑向量组 （ I ） 因可由线性表出，那么向量组（ I ）可由线性表出。又因是向量组（ I ）的部分组，则可由向量组（ I ）线性表出。于是向量组（ I ）与等价，等价的向量组有相同的秩，从而 。取向量组的极大线性无关组，则它也是向量组（ I ）的线性无关部分组。但向量组（ I ）的秩也为，那么从向量组（ I ）中任取一个向量，则，线性相关。因线性无关，故可由线性表出。于是 向量组（ I ）中的任一个向量均可由线性表出，由于与等价，所以向量组（ I ）可由线性表出，从而与向量组（ I ）等价的可由线性表出。于是向量组与向量组等价。 教材习题 3.1(2)第5（3）题 计算 () 解: 令 ,其中为单位矩阵 因 与 可交换,而且 , 从而 ,于是,对 用牛顿二项式定理,有 = = 教材习题 3.2第5题 设是一个阶矩阵,试证:存在一个阶非零矩阵 , 使得 的充分必要条件是: 证:必要性---已知有一个阶非零矩阵 ,其中 ()是矩阵的非零列向量组.于是 , 即 (). 因不全为零向量,所以齐次方程组有非零解,故 . 充分性---- 因,齐次方程组有非零解.取的个非零解向量 为列,构成阶非零矩阵 ,使 . 教材习题 3.3第2（4）题 求下列矩阵的逆矩阵 解：记此矩阵为A A的各元素的代数余子式为 由此知，这是由于A为对称矩阵，且A可逆，则A*也对称。 现证明如下：因 取转置，得，即 故有 两边右乘，得 所以，也是对称矩阵。 由对称，则 于是 教材习题 3.4第5（3）题 教材习题 3.5第10题 复习题 3第10题 设是一个阶矩阵（），试证： 解：当 时，可逆，。因 ，两边取行列式，得 ，则有 ，故 。 当 时， 的非零子式的最高阶数为 ，，从而 这表明，的列向量组都是齐次方程组 的解，故的列向量组可由 的基础解系线性表出。的基础解系所含独立解的个数为， 于是 。 但因 的非零子式的最高 阶数为，则矩阵的元素 的代数余子式中至少有一个不为零，故 。 当 时，的所有阶子式全等于零，即的全部元素均为零， 故 。 复习题 3第11题 设是一个阶矩阵(),求证 : 证 因 ，两边取行列式，得，若可逆,,则得 . 若不可逆,,则.由第10题知,此时,但题设 ,即与均为阶数大于或等于2的方阵,从而至少是2阶方阵,但 ,于是的非零子式的最高阶数小于或等于1 ,则的2阶及2阶以上的子式全为0.显然是的2阶或2阶以上的子式,所以 .故有 教材习题 4.1第4题 教材习题 4.1第4题 教材习题 4.2第5题 教材习题 4.2第1（4）题 教材习题 4.3第2题 教材习题 4.4第1（1）题 求正交矩阵T，使T-1AT为对角矩阵: （1） 解：A的特征多项式 A的特征值 A是实对称矩阵，下面分别求属于不同特征值的特征向量。 时，求的基础解系： 由此得一般解： （是自由未知量） 基础解系 是属于的特征向量。 因为A是实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量互相正交，故只须将单位化： 时，求的基础解系： 由此得一般解： （是自由未知量） 基础解系 是属于的特征向量，将它单位化： 时，求的基础解系： 由此得一般解： （是自由未知量） 基础解系 是属于的特征向量，将它单位化：