湖南高考数学必考点题型热点预测与分析—函数与导数.docVIP

2011年湖南高考数学必考点题型热点预测与分析 命题热点六 函数与导数 函数是高中数学的主线，是高考考查的重点内容，主要考查：函数的定义域与值域、函数的性质、函数与方程、基本初等函数、函数的应用等，在高考试卷中，一般以选择题和填空题的形式考查函数的性质、函数与方程、基本初等函数等，以解答题的形式与导数交汇在一起考查函数的定义域、单调性以及函数与不等式、函数与方程等知识.其中函数与方程思想、数形结合思想等都是考考查的热点. 高考对导数的考查主要有以下几个方面：一是考查导数的运算与导数的几何意义，二是考查导数的简单应用，例如求函数的单调区间、极值与最值等，三是考查导数的综合应用.导数的几何意义以及简单应用通常以客观题的形式出现，属于容易题和中档题；而对于导数的综合应用，则主要是和函数、不等式、方程等联系在一起以解答题的形式进行考查，例如一些不等式恒成立问题、参数的取值范围问题、方程根的个数问题、不等式的证明等问题. 预测1. 函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定A．有最小值 B．有最大值 C．是减函数 D．是增函数 解析：图像的对称轴为，依题意有，所以，在上递减，在上递增，故在上也递增，无最值，选D. 动向解读：本题考查二次函数、不等式以及函数的最值问题.对于二次函数，高考有着较高的考查要求，应熟练掌握二次函数及其有关问题的解法.在研究函数的单调性以及最值问题时，要善于运用基本不等式以及函数的单调性进行求解. 预测2. 如图，当参数分别取时，函数的部分图像分别对应曲线，则有 A. B. C. D. 解析：由于函数的图像在上连续不间断，所以必有.又因为当时，由图像可知，故，所以选A. 动向解读：本题考查函数的图像问题，这是高考考查的热点题型，其特点是给出函数图象，求函数解析式或确定其中的参数取值范围.解决这类问题时，要善于根据函数图象分析研究函数的性质，从定义域、值域、对称性、单调性、经过的特殊点等方面获取函数的性质，从而确定函数的解析式或其中的参数取值范围. 预测3. 已知函数的图像为曲线C，若曲线C不存在与直线垂直的切线，则实数m的取值范围是 A. B. C. D. 解析：，曲线C不存在与直线垂直的切线，即曲线C不存在斜率等于的切线，亦即方程无解，，故，因此. 动向解读：本题考查导数的几何意义，这是高考对导数考查的一个重要内容和热点内容，涉及曲线的切线问题都可考虑利用导数的几何意义解决，求解这类问题时，要始终以“切点”为核心，并注意对问题进行转化. 预测4. （理科）已知函数 为R上的单调函数，则实数的取值范围是A．　　 B．　 　C． D．在R上单调递增，则有，无解；若在R上单调递减，则有，解得，综上实数的取值范围是动向解读：本题考查分段函数、函数的单调性以及分类讨论思想，这些都是高考的重要考点.解决这类问题时，要特别注意：函数在R上单调递增（减），不仅要求函数在每一段上都要单调递增（减），还应满足函数在分段点左侧的函数值不大于（不小于）分段点侧的函数值.已知函数为R上的单调函数，则实数的取值范围是 B. C. D. 解析：若在R上单调递增，则有，解得；若在R上单调递减，则有，无解，综上实数的取值范围是动向解读：本题考查分段函数、函数的单调性以及分类讨论思想，这些都是高考的重要考点.解决这类问题时，要特别注意：函数在R上单调递增（减），不仅要求函数在每一段上都要单调递增（减），还应满足函数在分段点左侧的函数值不大于（不小于）分段点侧的函数值. ，其中. （1）若，求在的最小值；（2）如果在定义域内既有极大值又有极小值，求实数的取值范围；（3）是否存在最小的正整数，使得当时，不等式恒成立.解析：（1）由题意知，的定义域为， 时，由，得（舍去）， 当时，，当时，， 所以当时，单调递减；当时，单调递增， 所以； （2）由题意在有两个不等实根，即在有两个不等实根， 设，则，解之得； （3）对于函数，令函数， 则，， 所以函数在上单调递增，又时，恒有， 即恒成立.取，则有恒成立. 显然，存在最小的正整数N=1，使得当时，不等式恒成立.． （I）求的单调区间； （II）当0a2时，求函数在区间上的最小值． 解：（I）定义域为． ． 令，则，所以或． 因为定义域为，所以． 令，则，所以． 因为定义域为，所以．