第三板块,数列利用递推关系求数列通项的九种类型及解法.docVIP

利用递推关系求数列通项的九种类型及解法 1.形如型 （1）若f(n)为常数,即：,此时数列为等差数列，则=. （2）若f(n)为n的函数时，用累加法. 方法如下： 由 得： 时，， ， 所以各式相加得 即：. 为了书写方便，也可用横式来写： 时，， =. 例 1. 已知数列｛an｝满足, 证明 证明：由已知得： = . 例2.已知数列的首项为1，且写出数列的通项公式. 答案： 例3.已知数列满足，，求此数列的通项公式. 答案： 评注：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项. ①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和; ③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。 例4.已知数列中, 且,求数列的通项公式. 解:由已知得, 化简有,由类型(1)有, 又得,所以,又,, 则 此题也可以用数学归纳法来求解. 2.形如型 （1）当f(n)为常数，即：（其中q是不为0的常数），此时数列为等比数列，=. （2）当f(n)为n的函数时,用累乘法. 由得 时，， =f(n)f(n-1). 例1.设是首项为1的正项数列，且（=1，2， 3，…），则它的通项公式是=________. 解：已知等式可化为： ()(n+1), 即 时， ==. 评注：本题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到与的更为明显的关系式，从而求出. 例2.已知,求数列{an}的通项公式. 解：因为所以 故又因为,即， 所以由上式可知,所以,故由累乘法得 = 所以-1. 评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式转化为 若令,则问题进一步转化为形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式. 3.形如型 （1）若（d为常数），则数列{}为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论; （2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过构造转化为型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得，，分奇偶项来分求通项. 例1. 数列{}满足,,求数列{an}的通项公式. 分析 1：构造 转化为型 解法1：令 则. 时, 各式相加: 当n为偶数时，. 此时 当n为奇数时， 此时,所以. 故 解法2： 时，， 两式相减得：. 构成以,为首项，以2为公差的等差数列; 构成以,为首项，以2为公差的等差数列 . 评注：结果要还原成n的表达式. 例2.已知数列{an}的前n项和Sn满足 Sn－Sn－2=3求数列{an}的通项公式. 解：方法一：因为 以下同例1，略 答案 4.形如型 （1）若(p为常数)，则数列{}为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论; （2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过逐差法得，两式相除后，分奇偶项来分求通项. 例1. 已知数列,求此数列的通项公式. 注：同上例类似，略. 5．形如,其中)型 （1）若c=1时，数列{}为等差数列; （2）若d=0时，数列{}为等比数列; （3）若时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求. 方法如下：设, 得,与题设比较系数得 ,所以 所以有： 因此数列构成以为首项，以c为公比的等比数列， 所以 即：. 规律：将递推关系化为,构造成公比为c的等比数列从而求得通项公式 有时我们从递推关系中把n换成n-1有,两式相减有从而化为公比为c的等比数列,进而求得通项公式. ,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂. 例1．已知数列中，求通项. 分析：两边直接加上,构造新的等比数列。 解：由得, 所以数列构成以为首项，以为公比的等比数列 所以,即 . 方法二：由 时， 两式相减得 , 数列是以=为首项，以c为公比的等比数列. =( . 方法三：迭代法 由 递推式 直接迭代得 == =. 方法四：归纳、猜想、证明. 先计算出,再猜想出通项,最后用数学归纳法证明. 注：请用这三种方法来解例题，体会并比较它们的不同. 6.形如型 .(1)若(其中k,b是常数，且) 方法：相减法 在数列中，求通项. 解：， ① 时，， 两式相减得 .令,则 利用类型5的方法知 即 ② 再由累加法可得. 亦可联立 ① ②解出. 例2. 在数列中，,求通项. 解：原递推式可化为 比较系数可得：x=-6,y=9,上