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常微分方程课程实习指导书 （09级信息与计算科学） （09级数学与应用科学） 福建农林大学计算机与信息学院 目 录 1．引言 1 2．欧拉（Euler方法） 2 2.1．欧拉格式 2 2.2．收敛性研究简介 3 2.3．稳定性的研究简介 4 3．梯形法、隐式格式的迭代运算 5 4．一般单步法、Runge-Kutta格式 7 4.1．一种构造单步法的方法——泰勒级数法 7 4.2．一般单步法基本理论 8 4.3．龙格—库塔格式 9  1．引言 2010年10月16日福建省首届数学大会在福建会堂召开，会上林群院士对数学教育给出了精辟的见解：现代数学教育=微积分概念+计算方法，就是建立微分方程，然后求解微分方程。就是建模和解模两件事！建模的基础是微积分知识。而由于微分方程求解析解的困难，基于计算机的数值计算方法就成为解模的主要手段。而微积分知识又归结为求导公式和求积公式这两个公式。这是此次大会于我的最大收获！正切合了此次常微分方程课程实习的指导思想！ 在常微分方程课程中，我们学习了几类可求解的常微分方程（组）的解法及其相关理论基础。但是我们更知道，更多的常微分方程是不能用初等方法求解的。然而在科学技术、工程应用等领域，常微分方程是经常遇到的主要数学模型。一般来说，找出解的解析表达式极其困难，对大部分问题甚至是不可能的。因此，寻求近似解法就非常必要，而微分方程数值解法是目前普遍采用的微分方程近似解法。 本实习指导书即给出常微分方程数值解法：利用计算机依托数学软件（如MATLAB）求常微分方程的近似解，即给出理论解在一些离散点上的近似值。 本实习指导书中讨论的是常微分方程的初值问题 如无特别说明，总认为这个初值问题的解是适定的，即解存在、唯一且连续依赖于初始条件。 要求理解求微分方程初值问题的数值解方法，包括欧拉方法和改进的欧拉方法及龙格-库塔方法。能应用欧拉方法和龙格-库塔方法求微分方程的初值问题的数值解并画出图形。  2．欧拉（Euler方法） 2.1．欧拉格式 数值求解常微分方程的初值问题的最简单的方法是（向前）欧拉法（Euler）。 该方法的理论推导如下： 由，两边在上同时积分得： 而求的近似值的最直接的方法是用代替（即定积分近似计算中的用矩形近似曲边梯形），于是有 用表示，近似代替，则 依此令近似代替，则 （3） 这就是欧拉法的计算公式，称为步长。 一般而言，并不要求步长相等，则有 （4） 例1 以为步长，用欧拉法求初值问题 的数值解，并与精确解比较。 解：由欧拉法有 在使用欧拉法数值的求解过程中，我们发现计算过程非常简单，即由可直接计算，由可直接计算，无需用迭代方法求解任何方程，因此也称为显式格式。一般而言，我们难以得到精确解，用欧拉法数值求得的近似解，误差为；另一方面，不论何种格式都不能利用计算机求得它们的精确解，这是因为计算机运算，总是有限位二进制运算，因此对十进制的数学运算总会出现舍入误差及其在计算过程的传递。 因此计算机输出的是欧拉法的近似解，而不是精确解。由于 （5） 可见，为了使计算得出的解是好的近似。 我们要求欧拉法的精确解是微分方程精确解的很好近似，特别要求当步长充分小时，所得的近似解能足够精确地逼近精确解。换言之，要求时， 是好的近似。由于计算机在计算过程会不断地产生舍入误差，本问题的讨论相当复杂。为了简化讨论，我们设想计算机对欧拉格式计算过程完全精确，每步都没有误差，因此的值完全由决定。要求是的好的近似则相当于要求欧拉格式解对初始值具有连续依赖性，这种解对初值的连续依赖性就称为稳定性。 问题（1）称为格式的收敛性问题。 问题（2）称为格式的稳定性问题。 格式的收敛性、稳定性研究微分方程数值解法最基本的理论研究工作，具有重要的实用意义。一个算法格式只有当它是稳定的、收敛的，才是能用的、有意义的。 2.2．收敛性研究简介 前面已指出，收敛性问题，即研究的问题。 记为欧拉方法的整体截断误差，而由利用欧拉公式得到的与之差称为局部截断误差，也可记为。 定理1 假定，则欧拉方法的局部截断误差满足 其中为步长，。 定理2 设关于满足Lipschitz条件，L为相应的Lipschitz常数，则欧拉方法的整体截断误差满足 其中为局部截断误差的上界。 定理3 设关于满足Lipschitz条件，L为相应的Lipschitz常数，且当时，，则欧拉方法的解一致收敛到初值问题的解，并有估计式整体截断误差满足 其中为局部截断误差的上界。 如果，即 欧拉方法的整体截断误差与同阶，由的表达式可知，，这说明局部截断误差比整体截断误差高一阶