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第5讲 代数式 知识方法扫描 用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独的一个数或一个字母，像-1，0，a，x 也是代数式，这里“用运算符号连结”一般指加、减、乘、除、乘方。 将日常生活的语言转化为数学语言，就是要会列出代数式；另一方面也要理解代数式的含义，会求代数式的值。 用具体的数代替代数式里的字母进行计算，求出代数式的值，是一个由一般到特殊的过程．具体求解代数式值的问题时，对于较简单的问题，代入直接计算并不困难，但对于较复杂的代数式，往往是先化简，然后再求值． 经典例题解析 例1 (1985年武汉市初中一年级数学通讯赛试题) a,b是有理数, (1) 若a+b=0,则 a,b 互为________. (2) 若ab=0, 则 a,b 至少________. (3) 若ab=1, 则 a,b ________. (4) 若ab0, 则 a,b ________. (5) 若a+b2=0,则 a,b ________. (1) 若a+b=0,则 a,b 互为(2) 若ab=0, 则 a,b 至少 (3) 若ab=1, 则 a,b(4) 若ab0, 则 a,b(5) 若a+b2=0, 则 a,b例2 （1991年第2届“希望杯”数学邀请赛试题） 浓度为p%的盐水m公斤与浓度为q%的盐水n公斤混合后的溶液浓度是（ ） （A）（B）（C）（D） 解 浓度为p%的盐水m公斤中含盐m×p%公斤，浓度为q%的盐水n公斤中含盐n×q%公斤，混合溶液共(m+n)公斤，含盐(m×p%+n×q%)公斤，所以浓度是。 故选D。 例3．（1993年第4届“希望杯”数学邀请赛试题） 如图是一个长为a，宽为b的矩形．两个阴影图形分别是一对长为c的底边在矩形对边上的一个平行四边形和一个矩形．则矩形中未涂阴影部分的面积为（ ） （A）ab-(a+b)c．（B）ab-(a-b)c．（C）(a-c)(b-c)．（D）(a-c)(b+c)． (a-c)，宽为 (b-c)的长方形，其面积为(a-c) (b-c)，这也就是未涂阴影部分的面积（C） 例4.．（2002年河南省初二数学竞赛试题） a表示一个两位数，b表示一个四位数，把a放在b的左边组成一个六位数，那么这个六位数应表示成（ ） (A)ab (B)10000a+b (C)100a+10000b (D)100a+b 解．这个六位数a的个位数字是在万位上，所以这个六位数应表示成10000a+b(B) 评注：一个n位自然数的十进制表示法一般形式，是 其中ai是一位数字. 有时也根据需要写成 100a+b （b是两位数）,1000a+b(b是三位数)等形式 例5 (2004年“希望杯”数学邀请赛试题) 民航规定：旅客可以免费携带a千克物品，若超过a千克，则要收取一定的费用，当携带物品的质量为b千克(ba)时，所交费用为Q=10b-200(元)． (1)小明携带了35千克物品，质量大于a千克，他应交多少费用？ (2)小王交了100元费用，他携带了多少千克物品？ (3)若收费标准以超重部分的质量m（千克）计算，在保证所交费用Q不变的情况下，试用m表示Q．解 (1)当携带的物品重量b= 35千克时，应交的费用为（元）． 所以小明应交159元． (2)设小王携带了x千克物品，则 解得 因此，小王携带了30千克物品． (3)已知最多可以免费携带a千克物品，则 解得 所以超重部分的质量为即 故所交费用为（元）．例6. (2005年杭州市江干区数学小能手展示活动7年级试题) 设多项式，已知当＝0时，；当时，， 则当时，求的值. 2．解 由题意，当＝0时，=－5，所以d=－5； 当时，=7，即， 所以， 当时，=例7 （第18届“迎春杯”数学竞赛试题） 如果, 那么的值为 . 解法1 ∵a2+a=1, 于是我们有 解法2 ∵a2=1-a,于是有 评注：解法一是应用拆项法；解法二是应用降次法, 这两种方法在整式恒等变形中常用. 例8 如下图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0、1、2）：先原点与圆周上0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1、2、3、4、…所对应的点分别与圆周上1、2、0、1、…所对应的点重合。这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系。数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n圈（n为正整数）后，并落在圆周上数字所对应的位置，这个整数（用含n的代数式表示）是_________。 3n+2 由题意知，正半轴上的整数圆周