高三春季班第讲—等价与化归思想.docVIP

第讲　 高次问题——→低次问题 复 杂 未 知 多元问题——→一元问题 问 题 问 题 超越运算——→代数运算 转 化 转 化 无限问题——→有限问题 简 单 已 知 空间问题——→平面问题 问 题 问 题 几何问题——→代数问题 1．转化与化归的原则 （1）目标简单化原则：将复杂的问题向简单的问题转化． （2）具体化原则：即化归言论自由应由抽象到具体． （3）低层次原则：即将高维空间问题化归成低维空间问题． （4）正难则反原则：即当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解． 2．转化与化归常用到的方法 （1）直接转化法：把问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题． （2）换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题． （3）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换获得转化途径． （4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题． （5）坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题，是转化方法的一个重要途径． （6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化途径． （7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题． （8）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的． （9）加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即命题的结论加强为原命题的充分条件，反而能将原命题转化为一个较易证明的命题，比如在证明不等式时：原命题往往难以得证，这时常把结论加强，使之成为原命题的充分条件，从而易证． （10）补集法：如果下面解决原问题有困难，可把原问题结果看作集合A，而包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集使原问题得以解决． 等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行。它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变。由于其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型。 在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式…等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。按照这些原则进行数学操作，转化过程省时省力，有如顺水推舟，经常渗透等价转化思想，可以提高解题的水平和能力。 我们在应用化归与转化的思想方法还应注意它的三个基本要素： 1、把什么东西转化，即转化的对象； 转化到何处，即转化的目标； 如何进行转化，即转化的方法。 【核心要点突破】 要点考向1：函数、方程、不等式之间的转化 函数与方程、不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程，不等式的帮助，因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系化为最值（值域）问题，从而求出参变量的范围． 例1：已知函数 （1）在（0，1）内至少有一个零点，试求实数的取值范围。 （2）在（0，1）内恰有一个零点，试求实数的取值范围。 要点考向2：正面与反面的转化 一个题目若出现多种成立的情况，则不成立的情况一般较少，宜从反而考虑，多使用于“至多”“至少”这种情形． 例2：有9张卡片分别写着数字1，2，3，4，5，6，7，8，9，甲、乙二人依次从中抽取一张卡片（不放回），试求： （1）甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字卡片的概率． （2）甲、乙二人至少抽到一张奇数数字卡片的概率． 例3：一天9节课，上午5节，下午4节，要排九节不同的课，其中语文、数学、英语各排一节，要求语文不排第1节，数学课不排在第5节，英语课排在下午，有多少种不同的排法。 要点考向3：命题的等价转化 根据问题的特点转化命题，使原问题转化