垂直关系的证明.docVIP

垂直关系的判定与性质 一、知识梳理 (2)两直线垂直的判定 ①定义：若两直线成90°角，则这两直线互相垂直. ②一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即若b∥c,a⊥b,则a⊥c ③一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若a⊥α,bα，a⊥b. ④三垂线定理和它的逆定理：在平面内的一条直线，若和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直. ⑤如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直.即若a∥α,b⊥α,则a⊥b. ⑥三个两两垂直的平面的交线两两垂直，即若α⊥β,β⊥γ，γ⊥α,且α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c，则a⊥b,b⊥c,c⊥a. (4)直线与平面垂直的判定 ①定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直. ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.即若mα，nα，m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则l⊥α. ③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.即若l∥a,a⊥α,则l⊥α. ④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即若α∥β,l⊥β，则l⊥α. ⑤如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若α⊥β,a∩β=α，lβ，l⊥a,则l⊥α. ⑥如果两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面，即若α⊥γ,β⊥γ,且a∩β=α,则a⊥γ. (6)两平面垂直的判定 ①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直，即二面角α－a－β=90°α⊥β. ②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即若l⊥β,lα，则α⊥β. ③一个平面垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个.即若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ. .求证：AO⊥平面BCD. 考点二：面面垂直的判定及性质 例2：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB=且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD,若G为AD边的中点. （1）求证：BG⊥平面PAD （2）求证：AD⊥PB （3）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找一点F,使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论. 即时训练 在斜三棱柱中，底面是等腰三角形，AB=AC,侧面⊥底面ABC. （1）若D是BC的中点，求证：AD⊥ （2）过侧面的对角线的平面交侧棱于M，若AM=,求证：截面⊥侧面. 考点三：平行、垂直关系的综合应用 例3 如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点．如图2，将△ABE沿AE折起，使二面角B－AE－C成直二面角，连结BC，BD，F是CD的中点，P是棱BC的中点． (1)求证：AE⊥BD； (2)求证：平面PEF⊥平面AECD； (3)判断DE能否垂直于平面ABC，并说明理由． 2、 如图所示，直三棱柱—中，=，⊥，M、N分别是、AB的中点． (1)求证：⊥平面；(2)求证：⊥AM； (3)求证：平面∥平面；(4)求与所成的角 3、 如图①，长方形ABCD中，BC＝，AB＝6，把它折成正三棱柱的侧面(如图②)，使AD与BC重合，长方形的对角线AC与折痕线EF、GH分别交于M、N，连结AN. (1)求多面体AMND的体积； (2)求证：平面DMN⊥侧面ADFE. 三、模拟演练 1．(2010年宁波十校联考)设b、c表示两条直线，α，β表示两个平面，则下列命题是真命题的是________． ①若bα，c∥α，则b∥c　②若bα，b∥c，则c∥α ③若c∥α，α⊥β，则c⊥β ④若c∥α，c⊥β，则α⊥β 解析：①中，b，c亦可能异面；②中，也可能是cα；③中，c与β的关系还可能是斜交、平行或cβ；④中，由面面垂直的判定定理可知正确．答案：④ 2．(2010年青岛质检)已知直线l⊥平面α，直线m平面β，下面有三个命题： ①α∥βl⊥m；②α⊥βl∥m；③l∥mα⊥β.则真命题的个数为________． 解析：对于①，由直线l⊥平面α，α∥β，得l⊥β，又直线m平面β，故l⊥m，故①正确；对于②，由条件不一定得到l∥m，还有l与m垂直和异面的情况，故②错误；对于③，显然正确．故正确命题的个数为2.答案：2个 3．(2009年高考山东卷改编)已知α、β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β ”是“m⊥β ”的________条件． 解析：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线，m⊥β，则α⊥β，反过来则不一定．所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件． 答案：必要不充分 4．(2009年高考浙江卷)如图，在