大角度单摆运动问题的计算机模拟.pdfVIP

中国西部科技 201(1盔gOa月(中旬)第09卷第08期总第205期 陶 利 (中国矿业大学理学院，江苏徐州221008) 摘要：文章利用常微分方程中常微分方程和计算方法的相关理论，用Mtla．b对单摆的非线性运动微分方程进行了数值 求解，分析不同能量下的单摆的相空间轨迹，求解了最大摆角与周期之间的关系，并对已有文献中提出的一些近似周期 公式进行了精确度的比较分析。 关键词：单摆运动；任意摆角；Matlab 8 I)0I：10．；5969A．issn．1671-6396．2010．08．01 l 引言 单摆模型是一个形状、大小都可以看成质点的小球系 26。 =去m(艏)2一mgl(1一cos0)，则广义动量：Pe=等=ml 在不计伸长和质量的摆线卜的理想模型。它是处理摆动问 由于系统是保守系统且为稳定约束，则系统哈密顿函数： 题中必不町少的模型，作为一种经典物理模型，已在大多 D2厂———F———一 人学物理教材中有涉及。 在现在通行的理论力学教材…中，在处理单摆模型时只 为了计算和表达上的方便，从现在开始令2m29l=1。 讨论了小角度摆动时的近似运动状况，当单摆做大摆角运 设置E为不同值时观察相轨迹的变化，用Matlab作出部 动时，运动微分方程为非线性方程，由于计算上的困难没 分轨迹作图，如图1所示。 有涉及。许多文献已对大摆角单摆运动进行研究，文献 [2]提出利用抛物线法对大摆角运动周期进行了近似研究； 文献[3]通过使用加权平均法得出近似结果；文献[4]通过 “局部常化”的近似处理方法对微分方程进行修正得出近 似计算公式；文献[5]利用线性插值的方法，提出了一个任 意摆角条件下的运动周期的近似公式。 以上的文献都是近似情况下的研究，其求解的精确度 在全局下未必能够得到保证。学过常微分方程我们知道， 对于高阶的常微分方程，可以降价为一阶微分方程组，进 而可以使用数值分析中的相关理论得到较为精确的数值 解。因此可以使用以卜的方法对大摆角运动进行精确的求 解。本文将在以下几个方面对任意角度单摆问题进行研 究：分析相空间轨迹随能量的变化；研究单摆运动周期与 最大摆角的关系。 2 任意角度单攉问题的研究 图1不同能量下的相轨迹图 2．1相空间轨迹的分析 从图中可以看出，相轨迹随能量的变化分为三种情 在分析力学“1的课程我们已经知道，可以用，‘义坐标和 况：当E较小时，相轨迹为椭圆，当E为某一特定值时，单 广义动量来描述力学系统的运动，所有的广义坐标和广义 摆的运动具有不确定性，当E较大时，相轨迹是两条不相交 动量组成系统的相空间。对于上述问题来说，系统的自由 的曲线，这和理论力学中有心力场中能量对轨道的影响具 度为1，可以选用广义坐标0和相应的广义动量晶来描写 有一定的相似性，值得进一一步研究。 2．2单摆运动周期与最大摆角的关系 单摆的运动。单摆在某一时刻的状态用0和R来表示，或 者说用0一层相空间中的一个点表示。随着时间的推移，单 我们知道单摆的运动微分方程为： 摆运动在相空间上代表点随时间变化，从而描出一条曲线 ao，+墨sin0：0LL(1) ．、 称为相轨迹。下面由分析力学中的理论推导0和昂的关 dt‘，——(式1) 系： 文献[7]从相图的角度得出单摆运动周期的精确解为： 系统的动能：r=_1m(／6)2，以小球最低点为势能零 7_：强I；1 查 ，L L(2)一(式2) 7【如√卜sin2(00／2)sin20 收稿日期：2010—02—07修回日期：2