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完全平方数及其性质分享.doc
完全平方数的性质
能表示为某个整数的平方的数称为完全平方数,简称平方数。例如: 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,… 观察这些完全平方数,可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。 一、平方数有以下性质: 【性质1】完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。 【性质2】奇数的平方的个位数字为奇数,十位数字为偶数。【性质3】如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6;反之,如果完全平方数的个位数字是6,则它的十位数字一定是奇数。推论1:如果一个数的十位数字是奇数,而个位数字不是6,那么这个数一定不是完全平方数。推论2:如果一个完全平方数的个位数字不是6,则它的十位数字是偶数。 【性质4】(1)凡个位数字是5,但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数;(2)末尾只有奇数个“0”的自然数(不包括0本身)不是完全平方数; 100,10000,1000000是完全平方数,10,1000,100000等则不是完全平方数。(3)个位数字为1,4,9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。需要说明的是:个位数字为1,4,9而十位数字为奇数的自然数一定不是完全平方数,如:11,31,51,74,99,211,454,879等一定不是完全平方数一定不是完全平方数。但个位数字为1,4,9而十位数字为偶数的自然数不都是完全平方数。如:21,44,89不是完全平方数,但49,64,81是完全平方数。【性质5】偶数的平方是4的倍数;奇数的平方是4的倍数加1。这是因为 (2k+1)^2=4k(k+1)+1 (2k)^2=4k^2【性质6】奇数的平方是8n+1型;偶数的平方为8n或8n+4型。【性质7】平方数的形式一定是下列两种之一:3k,3k+1。【注意:具备以上条件的不一定是完全平方数(如13,21,24,28等)】【性质8】不能被5整除的数的平方为5k±1型,能被5整除的数的平方为5k型。【性质9】平方数的形式具有下列形式之一:16m,16m+1,16m+4,16m+9。 除了上面关于个位数,十位数和余数的性质之外,还可研究完全平方数各位数字之和。例如,256它的各位数字相加为2+5+6=13,13叫做256的各位数字和。如果再把13的各位数字相加:1+3=4,4也可以叫做256的各位数字的和。下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加,如果得到的数字之和不是一位数,就把所得的数字再相加,直到成为一位数为止。关于完全平方数的数字和有下面的性质:【性质10】完全平方数的各位数字之和只能是0,1,4,7,9。证明 因为一个整数被9除只能是9k,9k±1, 9k±2, 9k±3, 9k±4这几种形式,而 (9k)^2=9(9k^2)+0 (9k±1)^2=9(9k^2±2k)+1 (9k±2)^2=9(9k^2±4k)+4 (9k±3)^2=9(9k^2±6k)+9 (9k±4)^2=9(9k^2±8k+1)+7除了以上几条性质以外,还有下列重要性质:【性质11】a^2b为完全平方数的充要条件是b为完全平方数。【性质12】如果质数p能整除a,但p^2不能整除a,则a不是完全平方数。证明 由题设可知,a有质因子p,但无因子p^2,可知a分解成标准式时,p的次方为1,而完全平方数分解成标准式时,各质因子的次方均为偶数,可见a不是完全平方数。【性质13】在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数,即
【性质14】一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因子(包括1和n本身)。【性质15】完全平方数的约数个数是奇数个。约数的个数为奇数个的自然数是完全平方数。【性质16】若质数p整除完全平方数a,则p^2|a。【性质17】任何四个连续整数的乘积加1,必定是一个平方数。
二、重要结论(不是完全平方数的特点)1.个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数; 2.个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数;3.个位数是6,十位数是偶数的整数一定不是完全平方数;4.形如3n+2型的整数一定不是完全平方数;5.形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数;6.形如5n±2型的整数一定不是完全平方数;7.形如8n+2, 8n+3, 8n+5, 8n+6,8n+7型的整数一定不是完全平方数;8.数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数三、个位数与正整数幂正整数幂的个位与其底数的个位有周期性关系。
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