导数在解决实际问题中的应用.docVIP

导数在解决实际问题中的应用 导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面： 1、与几何有关的最值问题； 2、与物理学有关的最值问题； 3、与利润及其成本有关的最值问题； 4、效率最值问题。 解决实际问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具． 利用导数解决优化问题的基本思路： 例1在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？ 解法一：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积 ． 令 ＝0， 解得 x=0（舍去），x=40， 并求得 V(40)=16 000 由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值 答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm3 解法二：设箱高为xcm，则箱底长为(60-2x)cm，则得箱子容积 ．（后面同解法一，略） 由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．事实上，可导函数、在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值 例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？ 解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积S=2πRh+2πR2 由V=πR2h，得，则S(R)= 2πR+ 2πR2=+2πR2 令 +4πR=0 解得，R=， 从而h====2 即h=2R， 因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值 答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省 变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？ 提示：S=2+h= V(R)=R= )=0 ． 例3已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为．求产量q为何值时，利润L最大？ 分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格．由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润． 解：收入， 利润 令，即， 求得唯一的极值点 答：产量为84时，利润L最大 解应用题一般有四个要点步骤：设--列--解--答 用导数法求函数的最值，与求函数极值方法类似，加一步与几个极值及端点值比较即可， 注意取最值时对应的自变量必须有解。 解决数学模型 作答 用函数表示的数学问题 优化问题 用导数解决数学问题 优化问题的答案