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数值计算方法A卷标准答案.doc
一. 填空题(每空2分,共34分)
1. 设 是真值 的近似值,则 有????3 ?位有效数字。
2.求方程根的牛顿迭代格式是。
3. 迭代法收敛于,此迭代格式是阶收敛的。
5. 形如 的插值型求积公式, 其代数精度至少可
达次,至多可达次。
6. 向量 ,, 矩阵 ,则
___36____,Cond。
7.对矩阵A作如下的LU分解:
,则 ,
8. 设 ,要使,与应满足?。
10. 设为互异节点,为对应的5次Lagrange插值基函数,则=
二. (12分)
设函数在区间上具有四阶连续导数,试求满足下列插值条件的一个次数不超过3的插值多项式,并写出其余项 的表达式
0 1 2 1 2 9 4
解:
(5分)
(8分)
(10分)
令,作辅助函数
则在上也具有4阶连续导数且至少有4个零点:
反复利用罗尔定理可得:,
所以 (12分)
三.(12分)
求积公式 又知其误差余项为 试确定系数,使该求积公式有尽可能高的代数精度,指出其代数精确度的次数并确定误差式中的 值。
解:将分别代入公式得:
(6分)
当时,左边等于,右边等于,所以求积公式最高代数精度为2。 (9分)
将代入有误差项中的积分式中
(12分)
四.(12分)
分别用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法求解方程组
写出迭代格式,并判断收敛性。若将原方程组变为
再用上述两种迭代法求解是否收敛?说明原因。
解: 雅可比迭代格式为
发散 (4分)
高斯-赛德尔迭代格式为
发散 (8分)
方程组变为形式后
方程均严格对角占优,则收敛。 (12分)
五. (16分)
1.(8分) 用Gauss列主元消去法解方程组:
解: (3分) (6分)
(8分)
六.(下列2题任选一题,8分)
1.设,试建立计算 的牛顿迭代公式,并分析其收敛性。
解:1. 1. 解:问题转换为求解的正根。牛顿迭代公式为 (2分)
下面证明对任何初值迭代过程收敛。
根据定理2.8, 对于任何,迭代公式收敛。(5分)
当时,由f的单调性知
对任何初值迭代过程收敛。 (8分)
七.(6分)
设在上具有二阶连续导数,且证明
证明: (3分)
则 (6分)
***********************
一. 填空题(每空2分,共40分)
1. 设 是真值 的近似值,则 有????2 ?位有效数字。
5. 向量 ,, 矩阵 ,则
___3_____,Cond。
7. 设 ,则??。
9. 设 是次Lagrange插值基函数,
则 。
11. 写出求解方程组 的Gauss-Seidel迭代公式为
,迭代矩阵为 。
此迭代法是否收敛 收敛 。
四. (16分)
1.(8分) 用Gauss列主元消去法解方程组:
解: (3分) (6分)
*****************************
一. 填空题(每空2分,共40分
7. 设 ,则??。
9. 设 是次Lagrange插值基函数,
则 。
二.(12分)
方程在附近有根,把方程写成三种不同的等价形式(1)对应迭代格式;
(2)对应迭代格式;
(3)对应迭代格式。判断迭代格式在的收敛性,选一种收敛格式计算附近的根,精确到小数点后第三位。
解:(1),,故收敛; (3分)
(2) ,,故收敛; (6分)
(3),,故发散。 (9分)
选择(1):,,,,,
, (12分)
三. (12分)
四. (16分)
1.(8分) 用Gauss列主元消去法解方程组:
解:
(8分)
五.(12分)
数值积分公式形如
(1)试确定参数使公式代数精度尽量高;(2)设,推导余项公式,并估计误差。
解: 将分布代入公式得: (8分)
构造Hermite插值多项式满足
其中
则有:,
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