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格林函数的几个性质的证明.pdf

第28卷 第 1期 河 南 科 学 Vo1.28 No.1 2010年 1月 HENAN SCIENCE Jan.2010 文章编号:1004—3918(2010)01—0018—03 格林函数的几个性质的证明 陈 莹, 吴忠林 (黄淮学院数学系,河南 驻马店 463000) 摘 要:利用格林函数的相关基本定义和极值原理,证明了格林函数的几个重要的性质.结果对格林函数的研究具 有有意义的探索. 关键词 :格林函数 ;调和方程 ;极值原理 中图分类号:0175.2 文献标识码:A 格林函数的实质构成是由调和方程的基本解减去一个以基本解为边值的调和函数.格林函数可以用 来把求解具有任意非齐次项与任意边值的定解 问题归结为求解一个特定的边值问题,对于一些特殊区域, 这样的特定的边值问题可以得到解的具体表达式.在一般情形,虽然不可能给出格林函数的表达式,但格 林函数只依赖于区域,而与边值和非齐次项无关,无论对理论研究还是求解 问题都带来了方便[21.文献 [1.3] 分别详细地探讨了格林函数的相关 内容.本文主要证明了格林函数的几个性质,对于格林函数的研究具有 一 定的意义. 1 相关理论知识 根据文献 [1],我们有如下理论背景及依据: 定义 1 方程 Au=u.,+urr+u~=O (1) 被称为调和方程 . 定义 2 方程 (1)的连续解 ,也就是说具有关于变量 和Y以及 的二阶连续偏导数并且满足方程 (1) 的连续函数解称为调和函数. 定义3 GO/,M,9:_ 一 ,Mo) 为方 克雷问题 AU=Uxz+Uyy+ 。’的格林函数 一 ; · —30/(X—-Xo)—2+(y-yo)2— ㈣ I(~--ZO)2 g(M, 在区域Q内关于变量 是到处调和的,并且在区域Q的边界F上与函数—÷ 在边界上的值相 同,即g(M, lr=— Ir. 4rrrMoM 定理 1(极值原理) 对不恒等于常数的调和函数u(x,Y,z),其在区域 Q 的任何 内点上的值不可能达到 它在 Q上的上界或下界 . 推论 1 在有限区域Q 内调和、在IIUF上为连续的函数必在边界r上取得其最大值和最小值. 2 格林函数的几个重要的性质的证明 性质 1 格林函数G ,Mo)除M=Mo一点外,处处满足方程 (1),而当M ,G ,Mo)趋于无穷大,其阶 收稿 日期:2009—08—22 基金项目:河南省自然科学研究资助项目(092300410150);河南省教育厅 自然科学基础研究计划项 目(2009C110002);黄 淮学院青年骨干教师资助项 目 作者简介:陈 莹,(1982一),女,河南正阳人,讲师,硕士,研究方向为非线性理论与应用. 陈 ~q-:格林函数的几个性质的证明 一 19— 2010年 1月 数和— 一 相同. 4 % 证明 1)因为 除 砒 外处处满足方程 (1),g , 在区域Q 内关于变量 是到处调和的, 4.trr胁M 所以

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