朗之万方程.doc

朗之萬方程(Langevin’s equation) 描述布朗運動 粘滯阻力仍來自介質分子對顆粒的碰撞，將顆粒看作半徑為a 的小球，在粘滯系數為η的流體中運動，則有 上式稱為斯托克斯公式(stokes’s law)。 當不存在其它外力時F’(t)=0，朗之萬方程為 將上式對大量顆粒子求平均，即把大群顆的運動方程相加然後用顆粒數去除，加一橫線表示求得的平均值。注意求平均與對時間求導數的次序可以交換，即 ? ? 與t成正比是隨機過程的典型結果 另解 且由能量均分定理 得 C 為積分常數，所以γ-1 為系統的特徵時間常數。 假定在系統中的每一個粒子開始運動於x=0在t=0，故x為從初始位置的位移量，常數C可得 : 0=C + k T/α C=-Kt/α 代入 再次積分可得最後結果 If t γ-1 則 If t γ-1可得 t γ-1 ,e –γt - 0，則簡單可得 for t γ-1 可得 而由擴散方程(diffusion equation) 可導出x2=2Dt，這樣的關係式比較可得到擴散的相對係數 從這個關係我們可以得到 設布朗顆粒是半徑為a的小球，, 則 布朗顆粒(膠體物質)的密度ρ為1.19×103kg.m-3, a的平均值為3.67×10-7m， 液體介質(水)的粘滯係數η為1.14×10-3Pa.s。 α/m=3.2×107s-1。因此在短的時間後(例如t 10-6s)，則上式的第二項便可以忽略 如果假設所有的粒子在t=0時都處在x=0處，即x描述顆粒的位移，便得C2=0 ? ? ? ? 在一維中以n(x , t)表布朗顆粒的密度，以J (x , t)表布朗顆粒的流量(單位時間內通過單位截面的顆粒數)。菲克定律給出(diffusion equation) 兩式聯立，得 此為擴散方程，設t=0時，顆粒均位在x=0處，即 n(x,0)=Nδ(x) 擴散方程在初始條件下的解為 上式表明，顆粒的密度分佈是與t有關的高斯分佈，隨著t的增加，顆粒逐漸向兩邊擴散。由上式可求得顆粒位移平方的平均值 上式與朗之萬理論的結果 若粒子帶電荷e 且處在一均勻電場ε中，則朗之萬方程變為 將兩邊取平均值，且考慮穩定態時d/d t =0,使得 這証明了αε。這遷移性(mobility)μ/ε, 可得 遷移性μ和擴散係數D (D =)均有α，我們以此連結這二個係數(μ，D) Einstein relation ? 對於狀態變數p1…p n 在偶然選定的一個時刻處於一個n重的無限小區域(dp1 …d p n)中的機率，下列方程成立 (1) 用Adα來表示在偶然選定的一個時刻參數α的值處在α和α+dα之間的機率。於是 (2) (I) 對於在一個偶然選定的時刻α的值處於α和dα之間的機率，有一個類似於方程(2)的關係式: 在N個體系中，有 (I a) 個體系的參數α的值在一偶然選定的時刻落在α+dα之間。 如果有一個力F作用在一個半徑為a的球上，而這個球是懸浮在摩擦係數為k的液體中的，那末它就會以速度F/6πka運動著。因此我們可以置 如果有動量矩D作用在一個半徑為a的球上，這個球能夠在摩擦係數為k的液體中繞軸旋轉的角速度是 我們從而必須置 因此我們得到 關於公式有效的極限 所選取的時間t愈短，這個假定就愈難站得住腳。如果確實在時間z=0時，變化速度的瞬時值是 又如果在以後的某個時間間隔內，變化速度β不受不規則的熱過程的影響，而β的變化僅僅取決於被動阻力(1/B), 那末，對於dβ/dz，這樣的關係式會成立： 這裡，μ是由μ(β2/2)應該對應的變化速度β的能量這一規定來定義的。因此，比如在懸浮球的平移動的情況，μ(β2/2)就是球的動能連同被球帶動的液體的動能。由積分得到 回上一頁 f(t)分成二部分，一為粘滯阻力-αv，一為隨機作用力F(t) ? 以x乘全式 隨機作用力和位置無關，但F(t)均值為零 能量均分原理