函数依赖的公理系统.ppt

函数依赖的公理系统 数据依赖的公理系统 逻辑蕴含 定义: 对于满足一组函数依赖 F 的关系模式R U，F，其任何一个关系r，若函数依赖X→Y都成立, 则称F 逻辑蕴含X →Y Armstrong公理系统 从已知函数依赖集F要问X →Y是否为F逻辑蕴含，就要一套推理规则，由Armstrong在1974年提出。 这套推理规则，是模式分解算法的理论基础。 用途 从一组函数依赖求得蕴含的函数依赖。 求给定关系模式的码。 1. Armstrong公理系统 关系模式R U，F 来说有以下的推理规则： Al.自反律（Reflexivity）： 若Y ? X ? U，则X →Y为F所蕴含。 A2.增广律（Augmentation）：若X→Y为F所蕴含，且Z ? U，则XZ→YZ为F所蕴含。 A3.传递律（Transitivity）：若X→Y及Y→Z为F所蕴含，则X→Z为F所蕴含。 注意：由自反律所得到的函数依赖均是平凡的函数依赖，自反律的使用并不依赖于F 定理 Armstrong推理规则是正确的 （l）自反律:若Y ? X ? U，则X →Y为F所蕴含 证: 设Y ? X ? U 对R U，F 的任一关系r中的任意两个元组t，s： 若t[X]=s[X]，由于Y ? X，有t[y]=s[y]， 所以X→Y成立. 自反律得证 定理 Armstrong推理规则是正确的 (2)增广律: 若X→Y为F所蕴含，且Z ? U，则XZ→YZ 为F所蕴含。 证：设X→Y为F所蕴含，且Z ? U。 设RU，F 的任一关系r中任意的两个元组t，s； 若t[XZ]=s[XZ]，则有t[X]=s[X]和t[Z]=s[Z]； 由X→Y，于是有t[Y]=s[Y]，所以t[YZ]=s[YZ]，所以XZ→YZ为F所蕴含. 增广律得证。 定理 Armstrong推理规则是正确的 (3) 传递律：若X→Y及Y→Z为F所蕴含，则 X→Z为 F所蕴含。 证：设X→Y及Y→Z为F所蕴含。 对RU，F 的任一关系 r中的任意两个元组 t，s。 若t[X]=s[X]，由于X→Y，有 t[Y]=s[Y]； 再由Y→Z，有t[Z]=s[Z]，所以X→Z为F所蕴含. 传递律得证。 2. 导出规则 1.根据A1，A2，A3这三条推理规则可以得到下面三条推理规则： 合并规则：由X→Y，X→Z，有X→YZ。 （A2， A3） 伪传递规则：由X→Y，WY→Z，有XW→Z。 （A2， A3） 分解规则：由X→Y及 Z?Y，有X→Z。 （A1， A3） 导出规则 2.根据合并规则和分解规则，可得引理1 引理: X→A1 A2…Ak成立的充分必要条件是X→Ai成立（i=l，2，…，k）。 总结:函数依赖(FD)的推理规则 函数依赖有一个正确的和完备的推理规则集——Armstrong 推理规则： 设有关系模式R(U)，X，Y，Z，W均是U的子集，F是R上只涉及到U中属性的函数依赖集， 推理规则如下： (1)自反律：如果Y ? X ? U,则X→Y在R上成立。 (2)增广律：如果X→Y为F所蕴涵，Z ? U，则XZ→YZ在R上成立。 (XZ表示X∪Z，下同) (3)传递律：如果X→Y和Y→Z在R上成立，则X→Z在R上成立。 (4)合并律：如果X→Y和X→Z成立，那么X→YZ成立。 (5)伪传递律：如果X→Y和WY→Z成立，那么WX→Z成立。 (6)分解律：如果X→YZ成立， 那么X→Y,X → Z成立。 引理：X → A1A2……Ak成立的充分必要条件是X → Ai(i=1,2……K） 函数依赖 [例]关系模式R(A, B, C, G, H, I)，函数依赖集F={A?B, A?C, CG?H, CG?I, B?H}。我们可列出F中蕴含的几个依赖： 由传递律可得A?H，因为A?B且B?H； 由合并律可得CG?HI，因为CG?H，CG?I； 由伪传递律可得AG?I，因为A?C且CG?I。 还可以使用上述规则推导出更多的函数依赖，读者可自行推导。 3. 函数依赖闭包 定义: 在关系模式RU，F中为F所逻辑蕴含的函数依赖的全体叫作 F的闭包，记为F+。 定义: 设F为属性集U上的一组函数依赖，X ?U， XF+ ={ A|X→A能由F 根据Armstrong公理导出}，XF+称为属性集X关于函数依赖集F 的闭包 关于闭包的引理 引理: 设F为属性集U上的一组函数依赖，X，Y ? U，X→Y能由F 根据Armstrong公理导出的充分必要条件是Y ?XF+ 用途 将判定X→Y是否能由F根