回归设计I.ppt

(1)确定试验因素的变化范围。 根据试验研究的目的和要求确定试验因素数 ，并在此基础上拟定出每个因素Zj 的变化范围。回归正交试验设计的因素一般都大于3个，但也不能太多，否则处理过多，方案难以实施。 各试验因素取值最高的那个水平称为上水平，以Z2j表示；取值最低的那个水平称为下水平，以Z1j 表示；两者之算术平均数称为零水平，以Z0j 表示， Z0j＝(Z2j + Z1j ) ／2 上水平和零水平之差称为因素Zj的变化间距，以Δj表示，即 Δj ＝ Z2j－ Z0j Z0j＝(Z2j － Z1j ) ／2 经过上述编码，就确定了因素Zj与xj的一一对应关系，即： 下水平 4（Z11）←→ -1（x11） 零水平 8（Z01）←→ 0（x01） 上水平 12（Z21）←→ +1（x21） 记Y=(y1,y2,…, yN)′,β=[β0,β1, … , βm , β12 , β13 , …,β(m-1)m]′,ε=(ε1,ε2,…,εN )′,则模型的矩阵形式为： Y = X β +ε 当 N 次试验中，零水平处重复 m0 次时，矩阵 A 为： 当 m0 ＝0时，矩阵 A 为： 和 常数项矩阵 B 为： 于是参数β 的最小二乘估计 b＝A-1B ，即 27 43 25 15 9 N 2×5＝10 2×5＝10 2×4＝8 2×3＝6 2×2＝4 2m 25－1＝16 25＝32 24＝16 23＝8 22＝4 mc 1 1 1 1 1 m0 1、2、4、8、15 列 1、2、4、8、16 列 1、2、4、8 列 1、2、4 列 1、2 列 表头设计 21 L32(231) 5 15 L16(215) 4 10 L8(27) 3 6 L4(23) 2 21 L16(215) 5(1/2实施) Q 选用正交表 因素数 m 表13 二次回归组合设计试验点数 ( i,j =1, 2, …, m) 而 x0 项和二次项( x12 ,… ,xm2 ) 则失去了正交性，即： 3.2 正交性的实现 由表10和表12可见，在加入中心点与轴点后，一次项( x1 ,… ,xm )与乘积项(xi xj, i≠j )并没有失去正交性，即 为了获得正交性，首先应该对平方项 x12 ,… ,xm2 进行中心化变换，即令： ( j =1, …, m； a =1, …, N) 这样变换后的 x1′, x2′,… ,xm′ 项与 x0项正交： ( j =1, 2, …, m) 其次，我们可取适当的轴臂γ，使变换后的 x1′, x2′,… ,xm′ 项之间正交 将前两式代入上式得： (13-21) (i≠j ， i, j =1, 2, …, m) 即： 由于γ＞ 0，所以为了达到正交性，使上式成立，只须使： 当试验因素数 m 和零水平重复次数 m0 确定时，γ 值就可以通过上式计算出来。为了设计方便，将由上式算得的一些常用 γ 值列于表14。 表14 二次回归正交设计常用γ 值表 2.39498 2.30424 2.23073 2.14272 2.04096 1.95759 1.75245 1.53587 11 2.35018 2.25709 2.18728 2.09668 2.00000 1.91361 1.71120 1.49755 10 2.30424 2.20866 2.14272 2.04915 1.95759 1.86792 1.66803 1.45709 9 2.25709 2.15884 2.09668 2.00000 1.91361 1.82036 1.62273 1.41421 8 2.20866 2.10754 2.04915 1.94910 1.86792 1.77074 1.57504 1.36857 7 2.15884 2.05464 2.00000 1.89629 1.82036 1.71885 1.52465 1.31972 6 2.10754 2.00000 1.94910 1.84139 1.77074 1.66443 1.47119 1.26710 5 2.05464 1.94347 1.89629 1.78419 1.71885 1.60717 1.41421 1.21000 4 2.00000 1.88488 1.84139 1.72443 1.66443 1.54671 1.35313 1.14744 3 1.94347 1