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7.3简单的线形规划(1) 襄阳二中 俞松 * * 问1 在平面直角坐标系下作出经过点(0,1)和(1,0)的直线L,并写出在直线L上所有点的坐标所组成的集合. (0,1) (1,0) x y O 解:{(x,y)|x+y-1=0} 问2 根据问1可知点集{(x,y)|x+y-1≠0}在平面直角坐标系中表示什么图形呢?点集{(x,y)|x+y-10}与{(x,y)|x+y-10}又表示什么图形呢? 1.归纳猜想 接下来，我们就一起来研究上面的问题，首先请同学们看下面两个问题. 问1 在平面直角坐标系中作出A(1,1)、B(1,2)、C(0,0)、D(3,2)四点，并判断这四点与直线L的关系. · A(1,1) · B(1,2) C(0,0) · D(3,2) x y O L 问2 请把A.B.C.D四点的坐标代入x+y-1=0中,发现所得的值的符号有什么规律? 我们进行归纳猜想,得结论: 对直线x+y-1=0右上方的点(x,y),x+y-10成立;对直线x+y-1=0左下方的点(x,y),x+y-10成立. 1+1-10; 1+2-10; 0+0-10; 2+2-10. 证明猜想 证明:如图,在直线x+y-1=0上任取一点P(x0,y0),过点P作平行于x轴的直线y=y0,在此直线上点P右侧的任意一点(x,y)都有: xx0 , y=y0 ∴ x+yx0+y0 ∴ x+y-1x0+y0-1=0 即有:x+y-10. 因为点P(x0,y0)是直线x+y-1=0上的任意点, 所以,对于直线x+y-1=0右上方的任意点(x,y), x+y-10都成立. 同理,对于直线x+y-1=0左下方的任意点(x,y),x+y-10都成立 ∴在平面直角坐标系中,点集{(x,y)|x+y-10}表示直线x+y-1=0右上方的平面区域,点集{(x,y)|x+y-10}表示直线x+y-1=0左下方的平面区域. · y=y0 O x y 1 1 P(x0,y0) · (x,y) x y O x+y-10 x y O x+y-10 3. 二元一次不等式表示的平面区域 根据上例可得出一般性的结论： 二元一次不等式ax+by+c0在平面直角坐标系中表示直线ax+by+c=0某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线；若画直线ax+by+c≥0表示的平面区域时，此区域包括边界直线，则要把边界直线画成实线. 4. 应用举例 例1.画出不等式2x+y-60表示的平面区域. 分析:先作出直线2x+y-6=0为边界,再取原点验证不等式2x+y-60所表示的平面区域. 解:先画出直线2x+y-6=0(画成虚线)为边界,取原点(0,0)代入2x+y-6中,因为2×0+0-6=－60,所以原点不在2x+y-60表示的平面区域内,不等式2x+y-60表示的平面区域为直线2x+y-6=0的右上方区域(不包括边界),如图所示. 3 x y 6 O 反思归纳:画二元一次不等式表示的平面区域的方法和步骤: ①画直线定界(要注意实、虚线). ②用特殊点定区域(当ax+by+co中的c≠o时,常把原点作为特殊点) [随堂练习] 1.作出下列二元一次不等式表示的平面区域: ①2x+5y≥10; ②y≥2x; ③x≤－6; ④y+3≤0. 2.不等式3x+ay-60(a0)表示的平面区域是在直线3x+ay-6=0的( )的点的集合. (A)左上方 (B)右上方 (C)左下方 (D)右下方 3.点(-2,t)在直线2x-3y+6=0的上方,则t的取值范围是_____ . 参考答案： x y O 5 2 x y O x y O -6 x y O ① ② ③ ④ 1.如图 2.C 3.t2/3 例2.画出不等式组 ｛ x-y+5≥0 x+y≥0 x≤3 表示的平面区域. 分析:不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集,因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. 解:不等式x-y+5≥0表示直线 x-y+5=0上及右下方的点的合,x+y≥0表示直线x+y=0上及右上方的点的集合, x≤3表示直线x=3上及左方的点的集合.所以,不等式组 x-y+5≥0 x+y≥0 x≤3 ｛ 表示的平面区域如图所示. x-y+5=0 X=3 x+y=0 x y O [随堂练习] 1.画出不等式组 ｛ 2x-y+1≥0 4x-5y-10≤0 2x+y-1≤0 表示的平面区域. 2.画出不等式(x+2y+1)(x-y+4)0表示的平面区域. 3.画出不等式︱x︱+︱y︱≤1表示的平面区域,并求出平面区域的面积. 参考答案:(略) *