第四章 傅里叶变换和系统的频域分析 4.1-4.2.pptVIP

第四章 傅里叶变换和系统的频域分析 本章提要 信号分解为正交函数 傅里叶级数和傅里叶级数的形式 傅里叶变换和傅里叶变换的性质 周期信号和非周期信号的频谱分析 周期信号的傅里叶变换 LTI系统的频域分析 抽样定理 序列的傅里叶分析 一、信号正交与正交函数集 1. 定义： 定义在(t1，t2)区间的两个函数? 1(t)和? 2(t),若满足 3. 完备正交函数集： 如果在正交函数集{? 1(t),? 2(t),…,? n(t)}之外，不存在任何函数φ(t)(≠0）满足 二、信号的正交分解 设有n个函数? 1(t)， ? 2(t)，…，? n(t)在区间(t1，t2)构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交函数的线性组合来近似，可表示为 f(t)≈C1 ? 1+ C2 ? 2+…+ Cn ? n 问题：如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差在区间(t1，t2)内为最小。 通常使误差的方均值(称为均方误差)最小。均方误差为 为使上式最小（系数Cj变化时），有 误差 4.2 周期信号的傅里叶级数 一、傅里叶级数的三角形式 设周期信号f(t)，其周期为T，角频率Ω=2π/T，它可分解为如下三角级数—— 称为f(t)的傅里叶级数 将上式同频率项合并，可写为 解：傅里叶系数, an,　bn为 二、奇、偶函数的傅里叶级数 1 、f(t)为偶函数——对称纵坐标 3 .f(t)为奇谐函数——f(t) = –f(t±T/2) 此时其傅里叶级数中只含奇次 谐波分量，而不含偶次谐波分 量即a0=a2=…=b2=b4=…=0 上式中第三项的n用–n代换，A– n=An(An是n的偶函数)，?– n= – ?n（ ?n是n 的奇函数），则上式写为 本节小结： 1、正交函数集和完备正交函数集的概念； 2、周期为T的信号f（t）展开为傅里叶级数: (1)三角形式： 或 (2)指数形式： 3、奇、偶的傅里叶级数 （1）f(t)为偶函数时，bn =0， f(t)展开为三角形式的傅里叶级数只含有余弦分量； （2） f(t)为奇函数时，an =0， f(t)展开为三角形式的傅里叶级数只含有正弦分量； （3） f(t)为奇谐函数时，f(t)展开为三角形式的傅里叶级数只含有奇次谐波分量； * 则称? 1(t)和? 2(t)在区间(t1，t2)内正交。 2. 正交函数集： 若n个函数? 1(t)和? 2(t) ，…， ? n(t)构成一个函数集，当这些函数在区间(t1，t2)内满足 则称此函数集为在区间(t1，t2)上的正交函数集。 则称此函数集为完备正交函数集。 例如：三角函数集{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…} 和虚指数函数集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}是两组典型的在区间(t0，t0+T)(T=2π/Ω)上的完备正交函数集。 展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为0，写为 即 所以系数 C1 在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即n越大，则均方误差越小。当n→∞时（为完备正交函数集），均方误差为零。此时有 即：函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和 上式称为(Parseval)巴塞瓦尔定理（公式），表明： 在区间(t1,t2) f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。 当n??时， 系数an , bn称为傅里叶系数 可见， an 是n的偶函数， bn是n的奇函数。 式中，A0 = a0 可见An是n的偶函数， ?n是n的奇函数。 an = Ancos ?n ， bn = –Ansin ?n ，n=1,2,… 上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 其中， A0/2为直流分量；A1cos(Ωt+ ? 1)称为基波或一次谐波，其角频率与原周期信号相同；A2cos(2Ωt+ ? 2)称为二次谐波，其频率是基波的2倍；一般而言，Ancos(nΩt+ ? n)称为n次谐波。 例4―1 试将下图所示的方波信号f(t)展开为傅里叶级数。 ?=2?f bn =0，展开为余弦级数。 2 .f(t)为奇函数——对称于原点 an =0，展开为正弦级数。 三、傅里叶级数的指数形式 三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。可从三角形式推出：利用 cosx=(ejx + e–jx)/2 令 令复数 称其为复傅里叶系数，简称傅里叶系数。 表明： 任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。Fn 是频率为nΩ的分量的系数， F0 = A0/2 式中，A0 = a0 *