第四章 傅里叶变换和系统的频域分析 4.3-4.4.pptVIP

* 4.3 周期信号的频谱 一、信号频谱的概念 从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。 周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即 将An~ω和?n~ω的关系分别画在以ω为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频谱图。因为n≥0，所以称这种频谱为单边谱。 也可画|Fn|~ω和?n~ω的关系，称为双边谱。若Fn为实数，也可直接画Fn 。 二、周期信号频谱的特点 举例：有一幅度为1，脉冲宽度为?的周期矩形脉冲，其周期为T，如图所示。求频谱。 令Sa(x)=sin(x)/x (取样函数） , n = 0 ,±1，±2，… Fn为实数，可直接画成一个频谱图。设T = 4τ画图。 零点为 所以 ，m为整数。 特点： (1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置是基频Ω的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。 谱线的结构与波形参数的关系： (a) T一定，?变小，此时?（谱线间隔）不变。两零点之间的谱线数目：?1/?=（2?/?）/(2?/T)=T/? 增多。 (b) ?一定，T增大，间隔?减小，频谱变密。幅度减小。 如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号），那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过渡到非周期信号的连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。 三、周期信号的功率——Parseval等式 直流和n次谐波分量在1?电阻上消耗的平均功率之和。 n≥0时， |Fn| = An/2。 例题见课本P133 周期信号一般是功率信号，其平均功率为 4.4 非周期信号的频谱—傅里叶变换 一、傅里叶变换 非周期信号f(t)可看成是周期T→∞时的周期信号。 前已指出当周期T趋近于无穷大时，谱线间隔?趋近于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍有差别。 为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。令 (单位频率上的频谱） 称F(jω)为频谱密度函数。 考虑到：T→∞，Ω→无穷小，记为dω； n Ω→ ω（由离散量变为连续量），而 同时，∑ →∫ 于是， 傅里叶变换式“-” 傅里叶反变换式 F(jω)称为f(t)的傅里叶变换或频谱密度函数，简称频谱。 f(t)称为F(jω)的傅里叶反变换或原函数。 根据傅里叶级数 也可简记为 F(jω) = F [f(t)] f(t) = F –1[F(jω)] 或 f(t) ←→F(jω) F(jω)一般是复函数，写为 F(jω) = | F(jω)|e j ?(ω) = R(ω) + jX(ω) 说明 (1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，函数f(t)的傅里叶变换存在的充分条件: (2)用下列关系还可方便计算一些积分 二、常用函数的傅里叶变换 单边指数函数f(t) = e–?tε(t)， ? 0实数 2. 双边指数函数f(t) = e–??t? , ? 0 3. 门函数(矩形脉冲) 4. 冲激函数?(t)、?′(t) *