第四章 傅里叶变换和系统频域分析 4.8.pptVIP

4.8 LTI系统的频域分析 本节需掌握的重点 1、频率响应函数H(j?)的求解 2、利用傅里叶反变换求解系统的零状态响应y(t) 3、无失真传输的含义，以及无失真传输的条件 4、理想低通滤波器的表达式，以及其对应的冲激响应h(t)的求解。 * 傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频率的虚指数函数之和。 对周期信号： 对非周期信号： 其基本信号为 ej ?t 一、频率响应 1、基本信号ej ?t作用于LTI系统的响应 说明：频域分析中，信号的定义域为(–∞，∞)，而t= – ∞总可认为系统的状态为0，因此本章的响应指零状态响应，常写为y(t)。 设LTI系统的冲激响应为h(t)，当激励是角频率ω的基本信号ej ?t时，其响应 而上式积分 正好是h(t)的傅里叶变换，记为H(j ?)，称为系统的频率响应函数。 y(t) = H(j ?) ej ?t H(j ?)反映了响应y(t)的幅度和相位。 y(t) = h(t)* ej ?t 2、一般信号f(t)作用于LTI系统的响应 ej ?t H(j ?) ej ?t F(j ?) ej ?t d ? F(j ?)H(j ?) ej ?t d ? 齐次性 可加性 ‖ f(t) ‖ y(t) =F –1[F(j ?)H(j ?) ] Y(j ?) = F(j ?)H(j ?) 频率响应H(j?)可定义为系统零状态响应的傅里叶变换Y(j?)与激励f(t)的傅里叶变换F(j?)之比，即 ?H(j?)?称为幅频特性（或幅频响应）；θ(?)称为相频特性（或相频响应）。?H(j?)?是?的偶函数，θ(?)是?的奇函数。 频域分析法步骤： 傅里叶变换法 对周期信号还可用傅里叶级数法。 周期信号 若 则可推导出 例：某LTI系统的?H(j?)?和θ(?)如图， 若f(t)= 2 + 4cos(5t) + 4cos(10t)，求系统的响应。 解法一：用傅里叶变换 F(j?) = 4πδ(ω) + 4π[δ(ω–5) + δ(ω+5)] + 4π[δ(ω–10) + δ(ω+10)] Y(j?) = F(j?)H(j?) = 4πδ(ω) H(0) + 4π[δ(ω–5) H(j5) + δ(ω+5) H(-j5)] + 4π[δ(ω–10) H(j10) + δ(ω+10) H(-j10) ] H(j?)=?H(j?)?ejθ(?) = 4πδ(ω) + 4π[-j0.5δ(ω–5) + j0.5δ(ω+ 5) ] y(t) = F-1[Y(j?) ]= 2 + 2sin(5t) 解法二：用三角傅里叶级数 f(t)的基波角频率Ω=5rad/s f(t)= 2 + 4cos(Ωt) + 4cos(2Ωt) H(0) =1， H(jΩ) = 0.5e-j0.5π， H(j2Ω) = 0 y(t) = 2 + 4×0.5cos(Ωt – 0.5π) = 2 + 2sin(5t) 二、频率响应H(j?)的求法 1. H(j?) = F [h(t)] 2. H(j?) = Y(j?)/F(j?) 由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶变换。 由电路直接求出。 例1：某系统的微分方程为 y′(t) + 2y(t) = f(t) 求f(t) = e-tε(t)时的响应y(t)。 解：微分方程两边取傅里叶变换 j?Y(j?) + 2Y(j?) = F(j?) f(t) = e-tε(t)←→ Y(j?) = H(j?)F(j?) y(t) = (e-t – e-2t )ε(t) 例2：如图电路，R=1Ω，C=1F，以uC(t)为输出，求其h(t)。 解：画电路频域模型 h(t)= e-t ε(t) 三、无失真传输 系统对于信号的作用大体可分为两类：一类是信号的传输，一类是滤波。传输要求信号尽量不失真，而滤波则滤去或削弱不需要有的成分，必然伴随着失真。 1、无失真传输定义： 信号无失真传输是指系统的输出信号与输入信号相比，只有幅度的大小和出现时间的先后不同，而没有波形上的变化。即 输入信号为f(t)，经过无失真传输后，输出信号应为 y(t) = K f(t–td) 其频谱关系为 Y(j?)=Ke – j?tdF(j?) 系统要实现无失真传输，对系统h(t)，H(j?)的要求是： (a)对h(t)的要求： h(t)=K?(t – td) (b)对H(j?)的要求： H(j?)=Y(j?)/F(j?)=Ke-j