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第四章 傅里叶变换及系统的频域分析(Fourier Transform) 本章提要 傅里叶级数和傅里叶级数的性质 傅里叶变换和傅里叶变换的性质 周期信号和非周期信号的频谱分析 抽样信号的傅里叶变换和抽样定理 §4.2 信号的正交分解 信号的分解 正交矢量 性质:(矢量 ) 1. 2. 和 所在空间中任何一个矢量 都可以精确地表示为 和 的线性组合,即 正交函数与正交函数集 正交函数 设 和 是定义在区间上的两个实变函数,若满足 则称 和 在区间 内正交。 正交函数集 复函数集 完备正交函数集 如果在正交函数集 之外,找不到另外一个非零函数与该函数集中每一个函数都正交,则称该函数为完备正交函数集。 三角函数集: 复函数集: 将信号分解为正交函数 定理一 定理二 帕赛瓦尔方程 一、傅里叶级数的三角形式 (Fourier Series) 2、三角函数的傅里叶级数的表达式 4.周期信号的另一种三角函数正交集表示 5.比较几种系数的关系 二、傅里叶级数的指数形式 1.指数函数集 2.指数函数的傅立叶级数 3.两级数间的关系 欧拉公式: 关系: 4.系数间的关系 三 傅里叶级数的收敛性与吉布斯现象 第一个条件 若周期信号 在一个周期内的平方可积,即 则周期信号 的傅里叶级数存在。 第二个条件:狄里赫利条件 (1)函数 在周期内必须绝对可积,即 (2)在 的任何周期内,其极大值和极小值的数目有限; (3) 在任何周期内的间断点的个数是有限的,且在这些不连续点处, 为有限值。 吉布斯现象 四 波形对称与谐波特性 两种对称: 偶函数 : 例如:周期三角函数是偶函数 奇函数 : 例如周期锯齿波是奇函数 奇谐函数 : 沿时间轴移半个周期; 反转; 波形不变; 偶谐函数 (半周期函数): §4.4 典型周期信号的傅里叶级数 周期矩形脉冲信号 周期三角脉冲信号 周期半波余弦信号 周期全波余弦信号 信号的频谱 从广义上说,信号的某种特征量随信号频率变化的关系称为信号的频谱。所画出的图形称为信号的频谱图。 周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波振幅、相位随频率的变化关系。 周期矩形脉冲信号 2.频谱 频谱可分为幅度频谱和相位频谱 三角形式的傅立叶级数频谱 ①频谱的表达式: ②频谱的波形: 指数傅立叶级数的频谱 ①表达式: 3.周期矩形脉冲频谱的特点 ①离散线状频谱。即谱线只出现在各次谐波频率上,谱线间隔为基波频率。脉冲周期越大,谱线越密。 ②谱线的幅度包络线按抽样函数 的规律变化。过零点为 ③谱线幅度变化趋势呈收敛状,它的主要能量集中在第一零点以内。 信号占有频带: ④ T和τ的变化对频谱的影响 若T不变,在改变τ的情况 若τ不变,在改变T时的情况 周期锯齿形脉冲信号 a.三角形式的傅立叶级数: b.信号的频谱只包含正弦分量,谐波的幅度以 的规律收敛。 周期三角脉冲信号 a.三角形式的傅立叶级数: b.频谱只包含直流.基波和奇次谐波频率分量,谐波的幅度以 的规律收敛。 周期半波余弦信号 a.傅立叶级数: b.频谱只含有直流.基波和偶次谐波频率分量。谐波的幅度以 的规律收敛。 周期全波余弦信号 §4.5 非周期信号的频谱分析-傅立叶变换 频谱密度函数:非周期信号中,为了表明各频率分量的振幅之间的差别。 频谱密度函数的表达式: 周期信号 展成指数傅立叶级数为: 用频谱密度函数表示时间函数: 周期信号的指数傅立叶级数为: 傅立叶变换对 傅立叶正变换(FT) 傅立叶逆变换:(Inverse FT) 为实函数 三角函数形式的傅立叶变换 §4.6 常用信号的傅里叶变换 矩形脉冲信号 单边指数信号 双边指数信号 钟形脉冲信号 单位冲激函数信号 直流信号 单位阶跃函数信号 符号函数 矩形脉冲信号 单边指数信号 信号表达式 幅频 相频 偶双边指数信号 奇双边指数信号 单位冲激信号 直流信号 表达式: 它可以看做是双边指数函数 中 趋近于零的极限情况,即 符号函数 单位阶跃信号 §4.7 傅立叶变换的性质 线性 奇偶虚实性 时移特性和频移特性 尺度变换特性
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