第四章 静态场的边值问题.ppt

第四章 静态场的边值问题 5.4 有限差分法 有限差分法是一种较容易的数值解法。 求得 已知 ，求得 可见，分离常数 kx 为虚数，故 X(x) 的解应为 因为 x = 0 时，?电位 ? ? ?，因此，式中常数 C = 0，即 那么， 式中常数 C = AD 。 由边界条件获知，当 x = 0 时，电位 ? = ?0 ，代入上式，得 上式右端为变量，但左端为常量，因此不能成立。这就表明此式不能满足给定的边界条件。因此，必须取上式的和式作为电位方程的解，即 为了满足 x = 0， ? = ?0 边界条件，由上式得 上式右端为傅里叶级数。利用傅里叶级数的正交性，可以求出系数Cn为 最后求得槽中电位分布函数为 式中 。 0 d x y ? = 0 ? = 0 ? = ?0 电场线 等位面 电场线及等位面分布如右图示： 2. 圆柱坐标系中的分离变量法 电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为 令其解为 代入上式求得 上式中第二项仅为变量? 的函数，而第一项及第三项与? 无关，因此将上式对? 求导，得知第二项对? 的导数为零，可见第二项应为常数，令 即 式中 k? 为分离常数，它可以是实数或虚数。通常变量? 的变化范围为 ，那么此时场量随 ? 的变化一定是以 2? 为周期的周期函数。因此，上式的解一定是三角函数，且常数 k? 一定是整数，以保证函数的周期为2?。令 ，m 为整数，则上式的解为 式中A, B 为待定常数。 考虑到 ，以及变量? 的方程式，则前述方程可表示为 上式左边第一项仅为变量 r 的函数，第二项仅为变量 z 的函数，因此按照前述理由，它们应分别等于常数，令 即 式中分离常数 kz 可为实数或虚数，其解可为三角函数，双曲函数或指数函数。当 kz 为实数时，可令 式中C, D 为待定常数。 将变量 z 方程代入前式，得 * * 5.1 电位微分方程 5.2 镜像法 5.3 分离变量法 5.4 有限差分法 Boundary Value Problem 5.1 电位微分方程 已知，电位 ? 与电场强度 E 的关系为 对上式两边取散度，得 对于线性各向同性的均匀介质，电场强度 E 的散度为 那么，线性各向同性的均匀介质中，电位满足的微分方程式为 该方程称为泊松方程。 对于无源区，上式变为 上式称为拉普拉斯方程。 例 求同轴电缆在空间任意一点的E。 例 已知同轴线的内导体半径为a，电位为V，外导体接地，其内半径为b。试求内外导体之间的电位分布函数以及电场强度。 解 对于这种边值问题，镜像法不适用，只好求解电位方程。为此，选用圆柱坐标系。由于场量仅与坐标 r 有关，因此，电位所满足的拉普拉斯方程在圆柱坐标系中的展开式只剩下包含变量r 的一项，即电位微分方程为 求得 V b a O 利用边界条件： 求得 最后求得 数学物理方程是描述物理量随空间和时间的变化规律。对于某一特定的区域和时刻，方程的解取决于物理量的初始值与边界值，这些初始值和边界值分别称为初始条件和边界条件，两者又统称为该方程的定解条件。静电场的场量与时间无关，因此电位所满足的泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界条件求解空间任一点的电位就是静电场的边值问题。 通常给定的边界条件有三种类型： 第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值，这种边值问题又称为诺依曼问题。 第三类边界条件是给定一部分边界上的物理量及另一部分边界上物理量的法向导数值，这种边界条件又称为混合边界条件。 第一类边界条件给定的是边界上的物理量，这种边值问题又称为狄利克雷问题。 对于任何数学物理方程需要研究解的存在、稳定及惟一性问题。 泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经得到证明。可以证明电位微分方程解也是惟一的。 由于实际中定解条件是由实验得到的，不可能取得精确的真值，因此，解的稳定性具有重要的实际意义。 解的惟一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否惟一。 解的稳定性是指当定解条件发生微小变化时，所求得的解是否会发生很大的变化。 解的存在是指在给定的定解条件下，方程是否有解。 静电场是客观存在的，因此电位微分方程解的存在确信无疑。 静电场的边界通常是由导体形成的。此时，若给定导体上的电位值就是第一类边界。 已知导体表面上的电荷密度与电位导数的关系为 ，可见，表面电荷给定等于给定了电位的法向导数值。因此，给定导体上的电荷就是第二类边界。 因此，对于导体边界的静电场问题