第四章 图形变换1.ppt

第四章 图形变换 第一节 二维图形变换 一、二维基本变换 1、比例变换 2、对称变换（反射变换） 3 错切变换 4 旋转变换 5 平移变换和齐次坐标 二、二维基本变换矩阵的级联变换 2 级联顺序对图形的影响 第二节 三维图形的变换 一 三维基本变换 1 比例变换 2 错切变换 3 对称变换 4 平移变换 5 旋转变换 二 三维级联变换 三 三视图的变换矩阵 思考题 * * 第一节 二维图形的变换 一、二维基本变换 二、二维基本变换矩阵的级联 第二节 三维图形的变换 思考题 二维空间点表现为行向量 ， 和一个 阶矩阵 相乘得： 式中 = 是变化后的坐标，且： 可见变换后点的坐标是由矩阵 变换矩阵为 则： 变换后点的坐标为 可见： a为x方向缩放因子，d为y方向缩放因子。 1）若a=d，则图形沿x、y向等比例放大或缩小（分析A） 2）若a≠ d，则图形产生畸变（分析B） （1）对X轴的对称变换： 其变换矩阵为： （图） （2）对Y轴的对称变换： 其变换矩阵为： （3）对45°线的对称变换： （4）对-45°线的对称变换： （5）对坐标原点的对称变换： 变换矩阵特点： a=d=1，b、c之一为零。 （1）沿x向错切，其变换矩阵为： 当c0时，沿+x方向错切；当c0时，沿-x方向错切。图A 设变换矩阵 对四边形A(0,-1)、B(1,-1)、C(1,1)、D(0,1)沿+X方向进行变换，得： 即变换后各点为： 变换前后的图形如图所示。 特点：各点Y坐标保持不变，X坐标则依赖初始坐标（x,y） 线性地变化，即 。从几何上讲，凡平行X轴的直线变换后仍平行X轴；凡平行于Y轴的直线均沿X轴错切成与Y轴成θ角，而y=0的点为不动点，y≠0的点沿X向平移了cy的距离。 （2）沿Y向错切 其变换矩阵为 : 可见，当b?0时，沿+Y向错切；当b?0时，沿-Y向错切。 绕坐标原点逆时针旋转θ角： 使矩形ABCD绕坐标原点逆时针旋转30°，其各点坐标为：A(0,0)、B(2,0)、C(2,1.5)、D(0,1.5)，则变换后各点坐标为： 即变换后各点坐标为： 、 、 、 ，变换前后图形如图所示。 （1）平移变换矩阵 平移变换时， 设：平移变换矩阵 l,m分别为x,y方向的平移参数。 为了增加功能，将3×2矩阵扩充为3×3矩阵，其 平移矩阵为： 例如 这种用n+1维向量表示n维向量的方法叫做齐次坐标法。则二维图形变换矩阵的一般形式： 由多个基本变换组成复杂变换的方法叫做基本变换的级联或组合变换。相应的矩阵称为基本变换矩阵的级联矩阵或组合变换矩阵。 1 绕坐标原点以外的任意点的旋转变换矩阵 逆时针旋转θ角，如图所示。 例1：矩形ABCD绕点 （1）将旋转中心 平移到中心原点，变换矩阵为： （2）使图形绕坐标原点旋转θ角，变换矩阵为： （3）使旋转中心平移到原来位置，变换矩阵为： 故绕任意点 的旋转变换为： 因为矩阵乘法不适用交换率，即 ，所以，级联的顺序一般是不能颠倒的。 例2：平移——旋转 可见平移量受旋转量影响。 旋转——平移 可见平移量不受旋转量的影响。 用四维齐次坐标 描述三维空间点 ， 因此，三维空间点的变换为： 其中，T为变换矩阵，采用齐次坐标后，T为4×4方阵。将其分为4块，每个子矩阵对图形产生不同的变换。 说明 主对角线上的元素 的作用是使立体产生比例变换。 （1）恒等变换： （2）沿轴向的比例变换： 其中 分别为 X、Y、Z三个方向的缩放因子，若 ，立体各方向缩放比例相同；若 ， 立体各方向缩放比例不同，立体产生变形，如图所示。 （3）全比例变换： 若 ，则立体各向等比例放大；若 , 则立体各向等比例缩小；若 ，则为对原点的对称 加比例变换。 错切变换可使空间立体上某个面沿X、Y、Z三个方向发生错切变形，其变换矩阵的特点是主对角线上元素全为1，第四行和第四列的其他元素全为零，即： 三维错切变换按错切方向的不同，可有六种情况： （1）沿X含Y错切：错切平面沿X向移动并离开Y轴；图 （2）沿X含Z错切：错切平面沿X向移动并离开Z轴； （3）沿Y含X错切：错切平面沿Y向移动并离开X轴；图 （4）沿Y含Z错切：错切平面沿Y向移动并离开Z轴