第四章 图形的几何变换.ppt

第四章 图形的几何变换 4.1 图形变换的方法 4.2 二维变换 准备话题 图形变换：对图形的几何信息经过变换后产生新的图形 图形变换的两种方式： 1、坐标系不动，图形变动 2、图形不动，坐标系变动 4.1 图形变换的方法 4.1.1 构成图形的基本要素及其表示方法 4.1.2 点的变换 4.1.1 构成图形的基本要素及其表示方法 点→线→面→体 构成图形的最基本的要素是点 4.1.2 点的变换 问题的提出：想要变换图形，怎么办？ 解答：只要对点进行变换就可以了。 问题的提出：怎么对点进行变换？ 解答：点的矩阵运算 4.2 二维变换 4.2.1 二维基本变换 4.2.2 二维组合变换 4.2.3 二维组合变换顺序 4.2.1 二维基本变换之概述 4.2.1 二维基本变换之比例变换 4.2.1 二维基本变换之比例变换 4.2.1 二维基本变换之比例变换 4.2.1 二维基本变换之比例变换 4.2.1 二维基本变换之比例变换 4.2.1 二维基本变换之对称变换 4.2.1 二维基本变换之对称变换 4.2.1 二维基本变换之对称变换 4.2.1 二维基本变换之对称变换 4.2.1 二维基本变换之对称变换 4.2.1 二维基本变换之旋转变换 4.2.1 二维基本变换之错切变换 4.2.1 二维基本变换之错切变换 4.2.1 二维基本变换之平移变换 平移变换－变换矩阵的扩容 4.2.2 二维组合变换之概述 由多种基本变换组合而成的变换称之为组合变换，相应的变换矩阵叫做组合变换矩阵。 4.2.2 二维组合变换之绕任意点旋转变换 4.2.2 二维组合变换之绕任意点旋转变换 4.2.2 二维组合变换之绕任意点旋转变换 4.2.2 二维组合变换之绕任意点旋转变换 4.2.2 二维组合变换之对任意直线的对称变换 例2：某曲线上三点坐标值为： 求这三个点绕点 逆时针旋转 后的抛物线插值 表达式。 4.2.3 二维组合变换顺序 综上所述，复杂变换时通过基本变换的组合而成的，由于矩阵的乘法不适用于交换律，因此，组合的顺序一般是不能颠倒的，顺序不同，则变换的结果也不同。 将旋转中心平移回到原来的位置，变换矩阵为： 综上，平面图形绕任意点的旋转变换矩阵为： 例1：如图所示，请将某法兰盘图形上的小六边形绕法兰盘中心 逆时针旋转θ角，求旋转变换矩阵。 原图 旋转 第二次平移 第一次平移 第一次平移：将法兰盘中心平移到坐标原点，基本变换为： 旋转：将小六边形绕着坐标原点逆时针旋转θ角，基本变换为： 第二次平移：将法兰盘中心平移至原来位置，基本变换为： 最后，组合变换为： 设任意直线的方程为： ，如图所示。直线与 轴的夹角为 ，对任意直线的对称变换由以下几个步骤来完成： 平移直线（沿 轴将直线平移到原点），使其通过原点 ，变换矩阵为： 绕原点逆时针旋转，使直线与某坐标轴（假设为 轴）重合 ，变换矩阵为： 对坐标轴的对称变换（对 轴） ，变换矩阵为： 绕原点顺时针旋转，使直线回到原来与 轴成 角的位置，变换矩阵为： 平移直线，使其回到原来的位置，变换矩阵为： 通过上面五个步骤，即可以实现图形对任一直线的对称变换。其组合变换矩阵为： 分析： 求的是三点抛物线插值公式 所用的三个点是经过组合变换后得到的新点 关键是求取组合变换矩阵 * * 点的表示：二维空间→ 三维空间→ 用点的集合来表 示形体，不论是 对于二维空间的 线、面，还是三 维空间的形体。 变换矩阵 变换前点的坐标 变换后点的坐标 当其中的a、b、c、d取不同值的时候，就能实现不同的变换 比例变换矩阵： 新点的坐标： 等比例放大 等比例缩小 恒等变换 畸变 X轴对称 对称变换矩阵： 新点的坐标： y轴对称 对称变换矩阵： 新点的坐标： 对原点对称 对称变换矩阵： 新点的坐标： y=x对称 对称变换矩阵： 新点的坐标： y=－x对称 对称变换矩阵： 新点的坐标： 绕原点逆时针 旋转一定角度θ 旋转变换矩阵： 新点的坐标： 沿着x方向错切（以点A为例）： 即：沿着x方向错切就是点的y坐标不变，x坐标产生增量cy。 沿x向错切 错切变换矩阵： 新点的坐标： 4.2.1 二维基本变换之错切变换 其中的c是与错切角有关的参数。 沿着y方向错切（以点B为例）： 即：沿着y方向错切就是点的x坐标不变，y坐标产生增量bx。 沿y向错切 错切变换矩阵： 新点的坐标： 4.2.1 二维基本变换之错切变换