第四章齐次变换.ppt

机器人运动学 第四章 数学基础—齐次坐标和齐次变换 2.1 引言  机器人位置和姿态的描述 机器人可以用一个开环关节链来建模 由数个驱动器驱动的转动或移动关节串联而成 一端固定在基座上，另一端是自由的，安装工具，用以操纵物体 丹纳维特（Denavit）和哈顿贝格（Hartenberg） 于1955年提出了一种矩阵代数方法解决机器人的运动学问题—D-H方法 具有直观的几何意义 能表达动力学、计算机视觉和比例变换问题 其数学基础即是齐次变换 2.2 齐次坐标 一般来说，n维空间的齐次坐标表示是一个（n+1）维空间实体。有一个特定的投影附加于n维空间，也可以把它看作一个附加于每个矢量的特定坐标—比例系数。 [例]： 齐次坐标与三维直角坐标的区别 V点在ΣOXYZ坐标系中表示是唯一的（x、y、z） 而在齐次坐标中表示可以是多值的。不同的表示方法代表的V点在空间位置上不变。 几个特定意义的齐次坐标： [0, 0, 0, n]T—坐标原点矢量的齐次坐标，n为任意非零比例系数 [1 0 0 0]T—指向无穷远处的OX轴 [0 1 0 0]T—指向无穷远处的OY轴 [0 0 1 0]T—指向无穷远处的OZ轴 2.3坐标系在固定参考坐标系原点的表示 一个中心位于参考坐标系原点的坐标系由三个向量表示，通常这三个向量相互垂直，称为单位向量　　　　　每个单位向量都由它们所在参考坐标系中的三个分量表示。则坐标系可以由三个向量以矩阵的形式表示为：　 2.4坐标系在固定参考坐标系中的表示 在该坐标系的原点与参考坐标系的原点之间做一个向量来表示该坐标系的位置。这个向量由相对于参考坐标系的三个分量来表示。那么，这个坐标系就可以由三个表示方向的单位向量以及第四个位置向量来表示。　 2.4坐标系在固定参考坐标系中的表示 前三个向量是w＝0的方向向量，表示该坐标系的三个单位向量 的方向，而第四个w＝1的向量表示该坐标系原点相对于参考坐标系的位置。 2.4坐标系在固定参考坐标系中的表示 例：如图所示的F坐标系位于参考坐标系中3，5，7的位置，它的n轴与x轴平行，o轴相对于y轴的角度为45°，a轴相对于z轴的角度为45°。该坐标系可表示为： 2.5齐次变换矩阵 在同一矩阵中既表示姿态又表示位置，那么可以在矩阵中加入比例因子使之成为4×4矩阵。如果只表示姿态，则可去掉比例因子得到3×3矩阵。这种形式的矩阵称为齐次矩阵： 2.5齐次变换矩阵 变换定义为空间的一个运动，当空间的一个坐标系相对于固定的参考坐标系运动时，这一运动可以用类似于表示坐标系的方式来表示。 变换可有以下几种形式： （1）纯平移变换； （2）绕一个轴的纯旋转变换； （3）平移与旋转相结合的变换。 2.5齐次变换矩阵－纯平移 纯平移的变换：一个坐标系在空间以不变的姿态运动。它的方向单位向量保持同一方向不变。所有的改变只是坐标系原点相对于参考坐标系的变化。 相对于固定参考坐标系的新的坐标系的位置可以用原来坐标系的原点位置向量加上表示位移的向量求得。若用矩阵形式，新坐标系的表示可以通过坐标系左乘变换矩阵得到。由于在纯平移中方向向量不变，变换矩阵T可以简单地表示为： 2.5齐次变换矩阵－纯平移变换 2.5齐次变换矩阵－纯平移变换 结论： 1.新坐标系位置可通过在坐标系矩阵前面左乘变换矩阵得到； 2.方向向量经过纯平移后保持不变，但新的坐标系的位置是　各　向量相加的结果； 3.齐次变换矩阵与矩阵乘法的关系使得到的新矩阵的维数各变换前相同。 2.5齐次变换矩阵－纯平移变换 例：坐标系F沿参考坐标系的x轴移动9个单位，沿z轴移动5个单位。求新的坐标系位置。 2.5齐次变换矩阵－绕轴纯旋转的变换 2.5齐次变换矩阵－绕轴纯旋转的变换 2.5齐次变换矩阵－绕轴纯旋转的变换 2.5齐次变换矩阵－绕轴纯旋转的变换 2.5齐次变换矩阵－复合变换 2.6 相对变换 齐次变换矩阵T 的意义： 机器人用到相对变换的时候比较多 例如机械手抓一个杯子，如右图所示，手爪需要转动一个角度才抓的牢，相对于固定坐标系表达太麻烦，可以直接根据手爪的坐标系表示 但也要知道在∑O中的位姿，就用右乘的概念。 2.7 绕通过原点的任意轴旋转的齐次变换 有时动坐标系∑O′可能绕过原点O的而分量分别为rx、ry、rz的任意单位矢量r 转动φ角。 研究这种转动的好处是可用∑O′绕某轴r 的一次转动代替绕∑O各坐标轴的数次转动 为推导此旋转矩阵，可作下述变换： a. 绕X 轴转α角， 使r 轴处于XZ平面内 b. 绕Y 轴转-β角，使r 轴与OZ轴重合 c. 绕OZ轴转动φ角 d. 绕Y 轴转β角 e. 绕X 轴转-α角 2.8 齐次交换矩阵的几何意义 知