第四章信号与线性系统分析《积分变换与数理方程》.ppt

解 先求δT(t)的复振幅Fn： (4.7-8) (4.7-15) 设一周期信号fT(t)，其周期为T，fT(t)中位于第一个周期的信号若为fa(t)，则不难得到 已经知道 若f0(t)是从- T/2 ~ T/2 截取fT(t)一个周期得到的， 则 傅氏级数的系数计算公式为 傅里叶系数Fn与频谱函数F0(ω)的关系 因此： (4.7-18) 见P170 连续系统的频域分析 (4.8-3) 用频域分析法求解系统零状态响应的步骤为： 例 4.8-1 已知激励信号f(t)=(3e-2t-2)ε(t)，试求图 4.7-1 所示电路中电容电压的零状态响应uCf(t)。 例 4.8-1 的图 参见P174 例4.8－3 P175 H (jw) 注意到δ(ω)的取样性质，并为了较方便地求得UCf(jω)的逆变换，将UCf(jω)按如下形式整理: 例 4.8-2 如图 4.8-2(a)所示系统，已知乘法器的输入 s(t)=cos(3t),系统的频率响应。 3 3 参见P175 例4.8－4 -5 -1 1 5 X(jw) t -3 -1 1 3 -3 3 1 H(jw) Y(jw) t t s(t)=cos(3t) 因为： 则： 又因为： 例 4.8-3 如图 4.8-3(a)所示系统，已知乘法器的输入 s(t)的波形如图 4.7-2(b)所示，系统函数 图 4.8-3 例 4.8-3 图 (a) 系统组成； (b) s(t)的波形 先求f(t)的傅里叶变换F(jω)，由于 表 4.1 常用傅里叶变换对 续表 return 傅里叶变换的性质 傅里叶变换的性质及应用 第七讲 功率谱和能量谱 教学要点： 傅里叶变换的性质 根据傅里叶变换的概念，一个非周期信号可以表述为指数函数的积分， 即 1. 线性 若 且设a1, a2为常数，则有 见P142 2. 时移性 若f(t) F(jω)， 且t0为实常数(可正可负)，则有 此性质可证明如下。 见P148 3. 频移性 见P150 频谱搬移的原理是将信号f(t)乘以载频信号cosω0t或sinω0t, 从而得到f(t)cosω0t或f(t)sinω0t 信号。思考一下f(t)cosω0t或f(t)sin ω0t 信号的频谱函数是多少？ 4. 尺度变换 (4.5-1) 见P146 当a0时： 图 4.5-4 信号的尺度变换 F 1 ( j w ) w ( b ) f 1 ( t ) t 0 1 －0.5 ( a ) o 4 p 0.5 2 p F 2 ( j w ) w ( d ) f 2 ( t ) t 0 1 －0.1 ( c ) o 0.1 10 p －10 p 0.2 1 图 4.5-4(a)所示的信号f1(t), 可写成宽度τ等于1的门函数，即 0.1 0.1 尺度变换性质表明，信号的持续时间与其频带宽度成反比。在通信系统中，为了快速传输信号，对信号进行时域压缩，将以扩展频带为代价，故在实际应用中要权衡考虑。 也称为时间倒置定理。 在尺度变换性质中， 当a=-1时，有 解 此题可用不同的方法来求解。 综合例题：已知 f(t)的频谱为F(jw),求f(at-b)的频谱。 (2) 先利用尺度变换性质，有 5. 对称性（难点） (4.5-2) 见P144 6. 时域卷积 在信号与系统分析中卷积性质占有重要地位，它将系统分析中的时域方法与频域方法紧密联系在一起。在时域分析中， 求某线性系统的零状态响应时，若已知外加信号f(t)及系统的单位冲激响应h(t), 则有 在频域分析中，若知道F(jω)=F［f(t)］，H(jω)=F［h(t)］， 则据卷积性质可知 见P152 7. 频域卷积 8. 时域微分 见P152 见P154 例如，我们知道 , 利用时域微分性质显然有 此性质表明，在时域中对信号f(t)求导数， 对应于频域中用jω乘f(t)的频谱函数。如果应用此性质对微分方程两端求傅里叶变换， 即可将微分方程变换成代数方程。从理论上讲，这就为微分方程的求解找到了一种新的方法。此性质还可推广到f(t)的n阶导数， 即 9. 时域积分 时域积分性质多用于F(0)=0的情况，而F(0)=0表明f(t)的频谱函数中直流分量的频谱密度为零。 见P155 例 4.5-6 求图 4.5-6(a)所示梯形信号f(t)的频谱函数。 解 若直接按定义求图示信号的频谱，会遇到形如te-jωt的复积分求解问题。而利用时域积分性质，则很容易求解。 将f(t)求导，得到图 4.5-6(b)所示的波形f1(t)，将f1(t)再求导， 得到图 4.5-6(c)所示的f2(t)， 显