第五章贝赛尔函数.pptVIP

第五章 贝赛尔函数 分离变量法求解热传导方程 * * 归结为：求n阶贝赛尔方程的特征函数和特征值？ n为任意实数或复数。 此处，我们只讨论n为实数的情况。 另外，注意到方程中有 项，不妨假设 考虑n阶贝赛尔方程的一般形式 方便起见，仍然使用x表示自变量，用y(x)表示未知函数 §5.2 贝赛尔方程的求解 (5.13) 当微分方程的解不能用初等函数表达时，常使用幂级数解法。设方程有一个幂级数解，形式为 当然，常数c和系数ak可以通过代入原方程确定。 (5.14) 将(5.14)代入到方程(5.13)，立即得到 化简，得 要使得上式为恒等式，必须让各个x的幂次的系数全为0，从而得到 暂时取 c=n 代入 ，得到 根据递推关系式 得到 幂级数的一般项为 其中， 为任意常数，若将 的值取定，则得到n阶贝赛尔方程的特解。 特别地，若将 取作 这样选取 的目的是使得一般项中2的次数和x的次数相同和利用G函数的性质 将 代入幂级数的一般项，得 注意到 则幂级数的一般项为 则此时的幂级数（n阶贝赛尔方程的特解）为 使用达朗贝尔判别法，可以判断这个级数在整个数轴上收敛。 (5.15) 由幂级数所确定的函数（n阶贝赛尔方程的特解） 称为n阶第一类贝赛尔函数，记做 当n为正整数或0时， 以上结果是取c＝n时，得到的特解。 同样的，取c＝－n时，可得到n阶贝赛尔方程的另外一个特解 (5.16) (5.17) 同样的，取c＝－n时，可计算得n阶贝赛尔方程的另外一个特解 (5.18) (5.16) 可以将(5.16)和(5.18)统一成(5.16),其中的n为任意实数即可。 因此可用(5.16)式统一的表示第一类贝赛尔函数。 当n不是整数时，可以验证n阶贝赛尔方程的两个特解 是线性无关的，故n阶贝赛尔方程的通解为 实际上，当n不是整数时，通解还可以写成其他的形式。即我 们还可以与一个和 线性无关的特解，它和 的线性组合 也可构成通解。 例如在(5.19)中取 得到方程的特解 贝赛尔方程的通解结构 (5.19) (5.20) 容易验证， 是线性无关的，故n阶贝赛尔方程(5.13)的通解也可以写成 其中， 称为第二类贝赛尔函数，或者牛曼函数。 (5.21)