电磁场与电磁波第11章.pptVIP

电子科技大学 第11章　静态场边值问题（二） 11.1 格林函数法求解静电场 11.1.1 格林函数 　格林函数法是求解线性电磁场问题的一种重要方法。 　格林函数法的意义在于，当点源的解已知时，任意分布源的解即可以得到。 　格林函数法可以用于求解静态场问题的拉普拉斯方程和泊松方程，也可以用于求解时变场的波动方程。 　本节以静电场的边值问题为例，说明格林函数法的应用。 　静电场中的格林函数G(r, r′)为位于r′处的单位正点电荷在一定边界条件下，在空间r处所产生的电位，它满足泊松方程： 设包含点r′的某空间区域V的边界S上满足边界条件 则分别称此边值问题的解G(r, r′)为泊松方程在区域V内的第一类或第二类边值问题的格林函数，也可以简称为第一类格林函数或第二类格林函数。 　同理可得区域V内的第三类格林函数。 　格林函数满足对称性，即互易性。 11.1.2 用格林函数表示边值问题的解 　设区域V内的电荷分布为?(r)，则电位分布?(r)满足泊松方程 利用格林函数所满足的泊松方程、格林函数的对称性和?函数的挑选性，可以得到 ① 此式即为用格林函数表示的有限区域内任意点的电位表达式。如果知道了区域V中的电荷分布和边界条件，区域V中任意点的电位即可由此式求出。 对格林函数法的进一步说明 可以用于第一类、第二类和第三类边值问题的求解 只要求出了待求区域V内的格林函数，即可用上式求出区域V内的电位分布 某区域的格林函数的求解本身就是一个求解边值问题的过程，但通常其边界条件相对待解边值问题的边界条件简单 某区域的格林函数只与区域形状有关，与待解边值问题的边界条件无关 给定区域的格林函数可以用多种方法求解，如镜像法、分离变量法等 只有当待求区域的边界为几种特殊形状时，才能得到其格林函数 无界空间的格林函数 　在无界空间中，以无穷远点为参考点时，位于r′处的单位正点电荷在r处所产生的电位，即为无界空间的格林函数，有 半空间的格林函数 　考虑到无限大接地理想导体平板上方有一个点电荷时的电位分布情况，可用镜像法求出上半空间的格林函数，有 其中，r和r′分别为原电荷和像电荷的位置矢量。 球内、球外空间的格林函数 　球内和球外空间的格林函数可以用接地导体球外或球内放置点电荷时，用镜像法求解电位分布的方法求得，即 其中，a为球形区域的半径，R1和R2分别为原电荷和像电荷到场点的距离。 11.1.3 用格林函数求边值问题 　求解某电荷和边界条件给定的区域的电位分布时，需先求出该区域的格林函数及其法向导数，再利用①式求解。 　　 例1 在无限大的导体平面上有一半径为a的圆，圆内 与圆外之间用极狭窄的绝缘环绝缘。设圆内的电位为常数V0，导体其余部分电位为零，求上半空间电位分布。 解：由于上半空间中没有电荷分布，所以此问题是拉普拉斯方程的第一类边值问题。利用①式，并考虑上半空间第一类格林函数在导体平面上为零，得上半空间的电位为 将上半空间的格林函数代入，再利用题目给定的边界条件，可以通过积分求出上半空间的电位分布。（略） z a 11.3 有限差分法 　当边界为任意形状时，分离变量法和镜像法等解析法都无法使用，通常使用数值法求解。 　有限差分法即为最简单的一种数值法。 基本原理 　以离散点上的电位值替代连续分布的电位函数，或者说，把求解连续电位分布的问题化成求解离散点电位值的问题。 求解方法 将连续区域分割成分离点 　原则上可以任意划分，但为方便，采用有规律的网格划分。 用差商代替电位?的偏导数 　选节点0，1，2，3，4，各点电位分别为?0，?1，?2，?3，?4，等步长划分。 1 2 3 4 0 x y h 一阶中心差商 二阶中心差商