《线性代数》模拟试题（十）参考答案.doc

《线性代数》模拟试题（十）参考答案 一、选择题（每小题4分，共20分） 1. A 2. A 3. C 4. C 5. D 二、填空题（每小题4分，共28分） 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. ； 2 三、计算题（10+10+10+12=42分） 1. 解：, ，即 ，即， 因为，所以, 所以. 2. 解：设由到的过渡矩阵为，则 ，所以， 因此. 3. 解：方程组对应的齐次线性方程组的基础解系含个解向量，则所求方程组的通解为 其中为任意常数. ， 因此，方程组的通解为 . 4. 解：(1) ， 当线性方程组有解但不唯一，有，所以. （2）当时，的特征多项式 ， 的特征值为 ，， 当时，由得所对应的线性无关的单位特征向量为， 当时,由得所对应的线性无关的单位特征向量为， 当时，由得所对应的线性无关的单位特征向量为， 令，即为所求的正交矩阵，且有. 四、证明题（5+5=10分） 1．证： 因为， ， 所以，从而有. 2．证：设数是矩阵的特征值，则必存在非零向量，使得 ， 两边左乘，得， 若，因为，所以，否则的话，由知，这是不可能的，由此可知也是的特征值，对应的特征向量为； 若，则，故是不可逆矩阵，于是，因此也为的特征值. 以上证明了的任一特征值是的特征值，类似可证的任一特征值也是的特征值，故与有相同的特征值.