第一节空间解析几何简介.doc-多元函数微分学.doc

多元函数微分学 §1 空间解析几何简介 【目的要求】 1、会建立曲面和旋转曲面的方程； 2、会求空间曲线在坐标面上投影方程； 3、熟练识别空间柱面方程；了解常见二次曲面方程． 【重点难点】 旋转曲面的方程的建立；空间柱面概念的理解． 【教学内容】 在平面解析几何中, 通过坐标法把平面上的点与一对有次序的数对应起来, 把平面上的图形和方程对应起来, 从而可以用代数方法来研究几何问题. 空间解析几何也是按照类似的方法建立起来的. 正像平面解析几何的知识对学习一元函数微积分是不可缺少的一样, 空间解析几何的知识对学习多元函数也是必要的. 本章先简要介绍空间解析几何的有关内容. 一、空间直角坐标系 在空间任意选取一定点点, 过定点作三条互相垂直的以为原点的数轴：轴（横轴）、轴(纵轴), 轴(竖轴)，统称为坐标轴．它们的顺序按下述右手规则确定：以右手握住轴，让右手的四个手指从轴正向以角度转向轴正向时，大姆指的指向就是轴的正向(如图4-1)．这样就构成了一个空间直角坐标系，如图4-2所示．点称为坐标原点(或原点)，每两条坐标轴确定一个平面，称为坐标平面．由轴与轴确定的平面称为平面，类似地有平面和平面．显然, 三个坐标平面把空间分为八个部分, 称为八个卦限(图6-3). 含有三个坐标轴正半轴的那个卦限叫做第Ⅰ卦限，其它第Ⅱ、第Ⅲ、第Ⅳ卦限，在平面的上方，按逆时针方向确定．第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限下面的空间部分分别称为第Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限(图4-3)． 设为空间任意一点, 过点分别作垂直于三坐标轴的平面，与坐标轴分别交于、、三点(图4-4)．设这三点在轴、轴和轴上的坐标分别为、和．唯一确定了一个三元有序数组；反之，设给定一组三元有序数组，在轴、轴和轴上分别取点、、，使得, , , 然后过、、三点分别作垂直于轴、轴和轴的平面，这三个平面相交于点，即由一个三元有序数组唯一地确定了空间的一个点．于是，空间的点和三元有序数组之间建立了一一对应的关系，我们称这个三元有序数组为点的坐标，记为，并依次称、和为点的横坐标、纵坐标和竖坐标． 显然，原点的坐标为；轴、轴和轴上点的坐标分别为、、；平面、平面和平面上点的坐标分别为、和． 二、空间两点间的距离 设、为空间任意两点，过这两点可作一条空间直线, 称空间直线段的长度为空间两点之间的距离, 由此得空间任意两点间的距离公式： ． 特别地, 点与坐标原点的距离为 例1 求点到轴的距离． 解 过点作轴的垂线，其垂足点的坐标为，所以 ． 例2 设动点与两定点, 等距离,求此动点的轨迹． 解 设动点,因为，所以 ． 由此得点的轨迹为 . 以后我们会知道, 这是一个空间平面方程. 三、空间曲面及其方程 与在平面解析几何中建立平面曲线与二元方程的对应关系一样，在空间直角坐标系中可以建立空间曲面与三元方程之间的对应关系． 在空间解析几何中，任何曲面都可看作是空间点的几何轨迹．因此，曲面上的所有点都具有共同的性质，这些点的坐标必须满足一定的条件．在这样的意义下，先建立空间曲面与三元方程 　　 　　　　　 (1) 之间的对应关系： 定义 1.1 如果三元方程与空间曲面有下列关系: (1) 曲面上任一点的坐标都满足方程(1)； (2) 不在曲面上的点的坐标都不满足方程(1), 那么，方程(1)就称为曲面的方程，而曲面就称为方程(1)的图形(见图4-5)． 这样, 可利用方程来研究曲面. 关于曲面的讨论, 有下列两个基本问题: (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, 如何建立该曲面的方程； (2) 已知方程, 研究此方程所表示的曲面形状. 例3 求球心在点，半径为的球面方程． 解 设是球面上任一点(见图4-6)，则有，由两点间距离公式得 ．．为球心、为半径的球面方程． 特别地，以原点为球心, 为半径的球面方程为．, 这个方程的特点是缺, , 各项, 而且平方项系数相同, 只要将方程经过配方就可以化为方程(2)的形式, 那么它的图形就是一个球面. 例4 考察方程表示怎样的曲面． 解 方程在面上表示圆心在原点、半径为的圆. 在空间直角坐标系中, 此方程不含竖坐标, 即不论空间点的竖坐标怎样, 只要它的横坐标和纵坐标能满足方程, 那么这些点就在该曲面上. 这就是说, 凡是通过面内圆上一点, 且平行于轴的直线都在此曲面上, 因此, 该曲面可以看做是由平行于轴的直线沿面上的圆移动而形成的. 这种曲面叫做圆柱面(见图4-7), 面上的圆叫做它的准线, 平行于轴的直线叫做它的母线. 一般的, 直线沿定曲线平行移动形成的轨迹叫做柱面,