不等式的证明比较法导学案.docVIP

§2.1.1不等式的的证明(1)比较法 姓名 学习目标： 1. 理解并掌握证明不等式的基本方法---比较法 知识情景： 1．绝对值定理1 如果, 那么. 当且仅当 时, 等号成立.定理2 如果, 那么. 当且仅当 时, 等号成立.2. 含绝对值不等式的解法：为正数, 则 10.; 20.; 30. 设, 则. 3． 案例学习： 例1 设，求证：. 例2 若实数，求证： 例3已知求证 例4 甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度行走，另一半时 间以速度行走；乙有一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走. 如果， 问甲、乙两人谁先到达指定地点. 例5 设 求证；对任意实数，恒有 “欲穷千里目,更上一层楼.” 10. 在例5中, 特别地, 令 , 则得 再结合函数的图象, 这数和形 20.琴生在1905年给出了一个定义：设函数定义域为，如果，都有 （1） 则称为上的下凸函数. 若把(1)式的不等号反向，则称为上的 函数. 30. 其推广形式是：若函数的是上的下凸函数，则，都有 （2） 当且仅当时等号成立. 一般称（2）式为琴生不等式. 40.琴生不等式推广形式：，是上的下凸函数， 则 都有：时 .若是上凹函数，则上述不等式反向. 把琴生不等式应用于一些具体的函数，可以推出许多著名不等式. 选修4-5 §2.1.1不等式的的证明(1)比较法姓名 与； （2）与. 2、已知 求证： （1） （2） 3、若，求证 4、已知a≠0，比较与的大小． 5、已知函数＝＋有如下性质： 如果常数＞0，那么该函数在0，上是减函数，在，＋∞上是增函数． （1）如果函数＝＋（＞0）的值域为6，＋∞，求的值； （2）研究函数＝＋（常数＞0）在定义域内的单调性，并说明理由； （3）对函数＝＋和＝＋（常数＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函 数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数＝ ＋（是正整数）在区间[，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）． 6、已知函数，其中，为常数． （Ⅰ）当时，求函数的极值； （Ⅱ）当时，证明：对任意的正整数，当时，有． 参考答案: 对称，不妨设 ，从而原不等式得证。 2）商值比较法：设 故原不等式得证。 注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是： 作差（或作商）、变形、判断符号。 ，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为。 要回答题目中的问题，只要比较的大小就可以了。 解：设从出发地点至指定地点的路程是，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为，根据题意有，，可得，， 从而， 其中都是正数，且。于是，即。 从而知甲比乙首先到达指定地点。 讨论：如果，甲、乙两人谁先到达指定地点？ ＝ ＝ （2） 即（1）成立。 ＝＋有如下性质： 如果常数＞0，那么该函数在0，上是减函数，在，＋∞上是增函数． （1）如果函数＝＋（＞0）的值域为6，＋∞，求的值； （2）研究函数＝＋（常数＞0）在定义域内的单调性，并说明理由； （3）对函数＝＋和＝＋（常数＞0）作出推广，使它们都是你所推广的 函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数 ＝＋（是正整数）在区间[，2]上的最大值和最小值（可利 用你的研究结论）． [解]（1）函数y=x+(x0)的最小值是2则2=6, ∴b=log29. (2) 设0x1x2,y2－y1=. 当x1x2时, y2y1, 函数y=在[,+∞)上是增函数； 当0x1x2时y2y1, 函数y=在(0,]上是减函数. 又y=是偶函数于是该函数在(－∞,－]上是减函数, 在[－,0)上是增函数 (3) 可以把函数推广为y=(常数a0),其中n是正整数. 当n是奇数时,函数y=在(0,]上是减函数,在[,+∞) 上是增函数, 在(－∞,－]上是增函数, 在[－,0)上是减函数 当n是偶数时,函数y=