沙漠中迷路的数学模型分析.docVIP

沙漠迷路的数学模型 背景 在沙漠中，人往往会迷失方向，而迷路时所走的路线常常会是一个圆形轨迹或近似圆形。那么，人在沙漠中为什么会迷路呢，迷路时轨迹近似为圆形是必然还是偶然呢？下面我们通过分析来解决这些问题。 二、问题分析 在沙漠中，并没有明显的参照物，所以人们只能凭借感觉去走路，感觉自己走的是一条直线，然而往往却偏离了真确的方向而迷路，而造成这一切的原因正是两只脚迈出的步长不一样长（这里的步长指的是以右脚为支撑脚，左脚从原位置往前迈出一步和以左脚为支撑脚，右脚从原位置往前迈出一步的步长），即使这个差距很微小，如果两只脚分别形成的轨迹是平行线，那么在比较长一段路之后，必然有一只脚滞后较多距离，人会变成两半，这显然是不可能的。所以在行进中，人两只脚形成的轨迹应该是两个同心圆，所以人在迷路后走出的路线会是一个近似圆的轨迹。接下来定量的用数学模型来详细讨论这个问题。 模型的假设和建立 首先先对问题进行必要的假设： 人的左脚与右脚走出的每一步都是均匀的； 假设人的右脚每次都比左脚多迈出固定的一小段距离，记为δ； 人在行进过程中不随意改变方向且没有参照物。 前面已经分析过，人的步长差在充分长的路程之后会积累到一个比较大的值，而为了保持人的左右脚不致分离，所以人两只脚形成的轨迹近似是两个同心圆。显然这样处理是合理的也是必须的，在这个前提下，设人的左脚平均步长为L，则右脚步长为L+δ（如图1）；左右脚之间的平行间距平均为d。则人的左右脚形成的同心圆的半径之差为δ，如图2所示： 图1 其中大圆半径为R，小圆半径为r 则同心圆的周长之差e为： e=2π（R-r）=2πd ( 而这个距离又等于人走一圈所走的步数与步子 差的乘积，即： e=（2πr/L）×δ ( 图2 由于rd, 联立((可得：RrdL/δ ( 对一个人来说，d与L为常量，则可以看出，他凭感觉直线走出圆的轨迹的半径与左右脚步幅之差成反比。 若设人在坐标系xOy坐标系中的坐标为（x，y)，则可得其轨迹方程为x2+y2=(dL/δ)2 ④。 模型应用 既然已得出迷路的数学模型，下面我们来看看究竟步子的微小差异会导致人绕多大的圈子： 若取步幅差δ为0.0001米，即0.1毫米，两脚间距d为0.1米，步长L1.4米，则可得r为1400米，可见即使是微小的步幅差也会导致人以半径1.4千米绕圈子。 由此，我们可以看出，在没有参考物与指南针的情况下，在沙漠中行走时迷路似乎是必然的，所以在沙漠中首先要确定自己的方向，可以利用北极星等，然后沿着正确的方向前进，这样才不至于迷路。 x y O δ O