求微分方程的解..ppt

水工艺及计算机应用 田应丽 西安工业大学建筑工程系 2008.08 §4.4 Matlab自带函数解初值问题 dsolve 求解析解的使用 y=dsolve(eq1,eq2, ... ,cond1,cond2, ... ,v) 其中 y 为输出， eq1、eq2、...：为微分方程，写方程（或条件）时用Dy表示y关于自变量的一阶导数，用D2y表示y关于自变量的二阶导数，以此类推。 cond1、cond2、...：为初值条件， v ：为自变量。 §4.4 Matlab自带函数解初值问题 例 1：求微分方程 的通解，并验证。 用dsolve求解 使用所求的解，代入原微分方程验证 §4.4 Matlab自带函数解初值问题 几点说明 如果省略初值条件，则表示求通解； 如果省略自变量，则默认自变量为 t dsolve(Dy=2*x,x); ％ dy/dx = 2x dsolve(Dy=2*x); ％ dy/dt = 2x 若找不到解析解，则返回其积分形式。 微分方程中用 D 表示对 自变量 的导数，如： Dy y； D2y y； D3y y §4.4 Matlab自带函数解初值问题 例 2：求微分方程 在初值条件 下的特解，并画出解函数的图形。 §4.4 Matlab自带函数解初值问题 例3：求微分方程组 在初值条件 下的特解，并画出解函数的图形。 §4.4 Matlab自带函数解初值问题 注：解微分方程组时，如果所给的输出个数与方程个数相同，则方程组的解按词典顺序输出；如果只给一个输出，则输出的是一个包含解的结构（structure）类型的数据。 §4.4 Matlab自带函数解初值问题 例： [x,y]=dsolve(Dx+5*x=0,Dy-3*y=0, ... x(0)=1, y(0)=1,t) r = dsolve(Dx+5*x=0,Dy-3*y=0, ... x(0)=1, y(0)=1,t) 这里返回的 r 是一个 结构类型 的数据 r.x %查看解函数 x(t) r.y %查看解函数 y(t) 只有很少一部分微分方程（组）能求出解析解。大部分微分方程（组）只能利用数值方法求数值解。 dsolve的输出个数只能为一个 或 与方程个数相等。 §4.4 Matlab自带函数解初值问题 §4.4 Matlab自带函数解初值问题 solver 求解器 求数值解的使用 [T,Y] = solver(odefun,tspan,y0) 说明： （1）其中的solver 为Matlab的ODE求解器（可以是 ode45、ode23、ode113、ode15s、ode23s、ode23t、ode23tb其中之一） （2） y0 为初值条件， （3）tspan为求解区间；Matlab在数值求解时自动对求解区间进行分割，T (向量) 中返回的是分割点的值(自变量)，Y (向量) 中返回的是解函数在这些分割点上的函数值。 §4.4 Matlab自带函数解初值问题 说明： （4）odefun 是显式常微分方程 可以用命令 inline 定义，或在 函数文件中定义，然后通过函数句柄调用 （5） 因为没有一种算法可以有效地解决所有的 ODE 问题，因此MATLAB 提供了多种ODE求解器，对于不同的ODE，可以调用不同的求解器。 Matlab 提供的ODE求解器 使用于精度较低的情形 单步法；2，3 阶 R-K 方法；累计截断误差为 (△x)3 非刚性 ode23 计算时间比 ode45 短 多步法；Adams算法；高低精度均可到 10-3～10-6 非刚性 ode113 适度刚性情形 采用梯形算法 适度刚性 ode23t 若 ode45 失效时，可尝试使用 多步法；Gear’s 反向数值微分；精度中等 刚性 ode15s 当精度较低时，计算时间比 ode15s 短 单步法；2 阶Rosebrock 算法；低精度 刚性 ode23s 当精度较低时，计算时间比ode15s短 梯形算法；