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设计者：郁家平授课人：郁家平 * * 高二代数CAI课件 九九级数一班 ——函 数 法 教学目标 一、函数法的定义——根据所给不等式的特征，利用函数的性质及函数图象来证明不等式成立的方法，称之为函数法。 二、重点掌握函数 的单调性、三角函数的有界性等。能正确证明有关不等式，通过数形结合培养学生的思维能力、提高逻辑。 例1：求函数 的最小值。 分析：请思考下面解法对否？ ∴ 函数的最小值是2。 上面的解 法是错误的‘此时“=”不能达到，因为当 故取等号时的 x 值不存在。 思考1、函数 在 0＜x≤1, x＞1时的单调性。 设 0x1x2≤1 y2－y1= y2－y1＞0 ＜0 1x1x2 2、函数 ,(a0)在 时的单调性。 x o y x y o 1 2 解：令 则有 （t≥2） x 根据函数 当t≥2是增区间 ∴ ymin= 1 2 o y ． 1 2 o y ． x 例1：求函数 的最小值 解： 设： ∵x2+y2=r2 ∴1≤r2≤2 1≤r2≤2 思考如果x+y=1, x+2y=1,x2+y2=3，为条件如何设三角函数？ x y o 1 --1 · (x,y) r 例3：求证： 解：设 · · x y 利用函数图象可得 y≥-1 思考： 如何求证： o 【巩固练习】 1、当x∈R+ 时,下列函数中最小值是2的为 (A)y=x2－2x+4 (B) (C) (D) （ ） D 2、设 ， 求 的最小值。 解：设 t=sinx 则 （0t≤1) 在0t≤ 是减区间 ∴当t=1 时 ymin=3 3、若 ab1, 则 4、若x2+y2=1, 可设x= y= , ≤x+y≤ 5、 求证： 证明：设 = －2x+3 (x≤1) 1 (1x≤2) 2x－3 (x2) 1 1 2 x y o 【能力训练】 6、设 x2+y2=1, 求(1+xy)(1－xy) 的最大值,最小值. 7、设 x2+xy+y2=3, 求证：2≤x2+y2≤6 设： x=cosA, y=sinA ∴(1+xy)(1－xy) =(1+cosAsinA)(1－cosAsinA)=1－sin2Acos2A 证明：设 x=rcosB y=rsinB∴r2=x2+y2 ∵x2+xy+y2=r(cos2B+sin2B+sinBcosB) ∴2≤r2≤6