现代控制工程基础-讲稿-.ppt

现代控制工程基础 1.引言 数学基础——矩阵 detA的前二行中的所有2阶子式 detA的前二行中的所有2阶代数余子式 行列式detA就为 现 代 控 制 工 程 基 础 行列式的性质 ◆常数k与行列式detA中某一行(或列)的各元素相乘等于该常数与行列式相乘。即 因此，对于nⅹn矩阵A，有 ◆如果行列式中任意两行(或两列)互换，则行列式只改变符号。因此，当行列式 中有两行(或两列)的所有元素对应相同时，则该行列式为零；当行列式中有两 行(或两列)的所有元素对应成一个比例，则该行列式为零。 ◆如果行列式中某一行(或一列)的所有元素都为零，则该行列式为零。 ◆如果行列式的某一行(或某一列)的各元素加上另一行(或另一列)的常数倍，该 行列式保持不变。 ◆两个nⅹn矩阵A、B相乘的行列式等于各自行列式的乘积。即 现 代 控 制 工 程 基 础 奇异矩阵和非奇异矩阵：如果方阵A所对应的行列式为零，就称这个方阵A为奇异矩阵；否则，称为非奇异矩阵。 转置矩阵：n×m矩阵A的行与列交换得到的m×n矩阵称为矩阵A的转置矩阵，一般记为AT。因此，A=(AT)T。 对称矩阵：如果方阵满足A=AT，则称方阵A为对称矩阵。 反号对称矩阵：如果方阵A满足A=-AT，则称方阵A为反号对称矩阵。 共轭矩阵：如果矩阵A的元素用它们的共轭数代替，所构成的矩阵称为矩阵A的共轭矩阵，一般记为 。转置矩阵的共轭矩阵，称为共轭转置矩阵，一般记为A* 现 代 控 制 工 程 基 础 特殊矩阵 正定矩阵：方阵A的所有主子行列式都为正数，则方阵A称为正定矩阵。 正交矩阵：若方阵A满足AAT=ATA=I(单位矩阵)，则称方阵A是正交矩阵。 逆矩阵：对于方阵A，若存在方阵B满足AB=BA=I，则B是方阵A的逆矩阵，一般记为A-1=B，即有 AA-1=A-1A=I。对于正交矩阵有AT=A-1 伴随矩阵：用矩阵A中各元素的代数余子式Aij代替该元素所构成的矩阵的转置矩阵，称为矩阵A的伴随矩阵，一般记为adjA。 正规矩阵: 一个复矩阵和它的共轭转置的乘积可以交换次序，也就是乘积结果和次序没有关系，称这个矩阵是正规矩阵(normal matrix) 正则矩阵: 由正交的特征向量构成的矩阵称为正则矩阵(regular matrix) 现 代 控 制 工 程 基 础 二、矩阵的基本运算 若有矩阵A=(aij)、B=(bij)、C=(cij)，且k为常数，则有 ◆ A±B=(aij±bij)，即矩阵的代数和是一个矩阵，其元素是原矩阵对 应元素之间的代数和。 ◆ kA=(kaij)，即常数与矩阵的乘积是一个矩阵，其元素是常数与原 矩阵中所有元素的乘积。 ◆ 矩阵的秩：若矩阵A的某个m×m子矩阵M的行列式不为零，而其 他每个r×r子矩阵(r≥m+1)的行列式都为零，则称矩阵A的秩为m， 记为rankA=m。矩阵的秩是矩阵中线性独立行(列)向量数目的最大 值。 现 代 控 制 工 程 基 础 ◆矩阵的乘法：矩阵相乘只有前一矩阵的列数与后一矩阵的行数相同时才有意义，即 矩阵乘法适用于结合律和分配律： (AB)C=A(BC) (A+B)C=AC+BC。 但是，一般情况下有AB≠BA。 ◆矩阵的代数和与乘积的转置： (A±B)T=AT±BT，(AB)T=BTAT，(AT)T=A 现 代 控 制 工 程 基 础 ◆对于方阵A，若|A|≠0，则A-1存在，且有A-1=adjA/|A| 例： (A-1)-1=A，(A-1)T=(AT)-1 现 代 控 制 工 程 基 础 三、矩阵变换 ◆矩阵A的下列变换，称为A的初等变换： (1) A的任意两行或两列互换； (2)用非 零数乘A的一行或一列； (3)用一个数乘A的一行(一列)加到另一行(另一列)上。 ◆若矩阵A经过有限次初等变换成为矩阵B，则称矩阵A和矩阵B等价，一般记 为A?B。 ◆满秩矩阵可以由同型的单位矩阵经过有限次的初等变换得到。因此，满秩 矩阵乘以矩阵A，就等价于对矩阵A进行初等变换。用满秩矩阵左(或右)乘 矩阵A就等价于对矩阵A作有限次的行(或列)初等变换。 ◆初等变换不改变矩阵的秩。这说明：一个矩阵A乘以一个满秩矩阵后得到的 矩阵与矩阵A的秩相同。因此，对于两个同型的具有相同秩的矩阵A、B， 必存在满秩矩阵P和Q，使得B=PAQ。 ◆如果存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B，则矩阵A与矩阵B相似，记为A~B。 现 代 控 制 工 程 基 础 四、矩阵的特征多项式和特征值 ◆对于n阶矩阵A，行列式|sI-A|是关于变量s的n次多项式，称为矩阵