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数值分析 王天虹 海军工程大学应用数学系 Tel: 43060 第一章 绪论 基本的数学问题 1.大型线性代数方程组Ax=b求解； 课程主要内容 解线性代数方程组的直接法； 解线性代数方程组的迭代法； 非线性方程求解； 代数插值法； 数值积分与数值微分； 常微分方程数值解法． §1.2 数值计算的误差（Error） 二、误差基本概念 §1.3 误差分析与避免误差危害 §1.3 误差分析与避免误差危害 1.尽量简化计算步骤，减少乘除运算的次数. 3.尽量避免相近数相减 作业 * 随着科技的飞速发展，无论是工农业生产还是国防尖端技术，例如机电产品的设计、建筑工程项目的设计、气象预报和新型尖端武器的研制、火箭的发射等，都有大量复杂的数值计算．其研究过程一般为: 实际问题 数学模型 数值计算方法 程序设计 上机计算求出结果 求精确解(值)一般非常困难． 6.其它． 5.常微分方程初值问题求解； 4.积分 计算； 3.非线性方程 求解(求根)； 2.矩阵A的特征值和特征向量计算； 　　这里所说的“算法”，不只是单纯的数学公式，而且是指由基本的运算和按规定的运算顺序所组成的整个解题方案和步骤． 　　数值分析研究利用计算机解决数学问题的数值方法及其理论。 数值分析的主要任务是把数学问题的求解化为有限数位的四则运算和逻辑运算.以便在计算机上求出问题的数值解，并对算法的收敛性和误差进行分析、计算．所以数值分析也叫计算方法 　　数值分析研究适合于在计算机上使用的实际可行，理论可靠，计算复杂性和数值实验效果较好的数值计算方法。 　　一般可以通过框图（流程图）来较直观地描述算法的全貌． 　　数值分析是一门与计算机关系密切，实用性较强的数学课程。具有纯数学的高度抽象性，严密科学性，也具有应用广泛性，与实际结合的高度技术性。 　　主要内容分为三个部分: (1)数值代数: 线性代数方程组的解法,行列式的计算,方阵求逆及方阵的特征值和特征向量； (3)常微分方程数值解法:一阶常微分方程, 一阶 常微分方程组,高阶常微分方程初值问题, 二阶常微分方程边值问题的数值解法. (2)数值逼近: 非线性方程求解,插值,最佳平方 逼近,数值积分与数值微分； 一、误差来源（分类） 右端是截断误差． 2. 观测误差; 3. 截断误差. 1. 模型误差; 一般截断误差和舍入误差很小,但由于运算次数很多,有必要对截断误差的估算和舍入误差的控制作适当的分析。 4. 舍入误差 计算机字长有限，一般实数不能精确存储，于是产生舍入误差．例如：在10位十进制数限制下： 绝对误差 设 ——准确值， ——近似值 称 为 的相对误差限． 实用中，常用 表示 的相对误差． 称 为 的(绝对)误差． 相对误差 称 　　为 的相对误差. ,称 　　为 的绝对误差限． 则 x*具有 n 位有效数字，分别是 a1, ， a2 ，… ， an 有效数字 设 x*=±10m(0. a1 a2 … ap ), a1≠0, 若 有效数位n越多，则绝对误差限 越小． 定理1 (自学 ) 例1.1 设 =0.0270 是某数 经“四舍五入”所得， 则误差 不超过 末位的半个单位， 即： 又 ,故该不等式又可写为 由有效数字定义可知, 有3位有效数字， 分别是2,7，0。 = 32．93, = 32．89, 例1.2 故 有3位有效数字，分别是3,2,8 由于 中的数字 9 不是有效数字， 故 不是有效数. 设一元函数f(x)具有二阶导数，自变量x的一个近似值是x*，f(x)的近似值为f(x*)， 三、误差在算术运算中的传播 　　设多元函数f(x)，自变量为　　　　，其近似值　　　　　，则 例1.3 设计算球体积要使相对误差限为1%，问度量半径为 R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积 3 4 3 = V(R) πR 例1.4 用电表测得一个电阻两端的电压和电流范围分别为 （伏特)和 （安培), 求该电阻的阻值R，并估算绝对误差和相对误差. 近似值之和(差)的绝对误差限等于各近似值绝对误差限的代数和 三、误差在算术运算中的传