算法分析的基本概念和方法.ppt

第1章 算法分析的基本概念和方法 内容提要 ?一、算法及其特性 ??二、算法的时间空间复杂度 ??三、算法分析(Algorithm Analysis) 1.分析算法时间复杂度的基本步骤 2.算法时间复杂度的有关概念 3.分析、求解算法复杂度的方法 ??四、最优算法(optimal algorithm) 知识要点 算法分析的概念 复杂度渐近表示的记号：O, ?,? 平均时间复杂度，最坏时间复杂度，最好时间复杂度 最优算法 分析算法复杂度的基本方法 分析算法时间复杂度的步骤 基本运算执行频数的统计方法 数学知识：求和公式、定积分近似求和、递归方程的求解 学习要求 掌握算法复杂度的基本概念 熟悉算法复杂度分析的基本方法 1.1．算法及其特性 一、 算法(algorithm)???? 算法就是一组有穷的规则，它们规定了解决某一特定类型问题的一系列运算。 二、算法的五个特性 确定性 能行性 有穷性 输入 输出 1.1．算法及其特性 衡量算法性能一般有下面几个标准： 确定性 易读性 健壮性 算法的时间和空间性能：高效率和低存储空间 ???? 本课程中主要讨论算法的时间和空间性能，并以此作为衡量算法性能的重要标准，而且主要侧重于时间方面。 1.2. 算法的时间空间复杂度 算法的时间复杂度：在算法运行期间所花费的时间。 通常用渐进形式表示。比如，T(n)= O (n2)、 ?(n2) 或 ?(n2) 1.2. 算法的时间空间复杂度 算法的空间复杂度：在算法运行期间所需要的内存空间，通常指除开容纳输入数据之外的附加空间（auxiliary space, or work space）。 通常用渐进形式表示。比如，S(n)= O(n2)、?(n2)或 ?(n2) 1.2. 算法的时间空间复杂度 ????算法分析是指对于计算机算法的时间和空间复杂度进行定量的分析。为了确切起见，假定执行算法的计算机是满足如下条件的“通用型”计算机： 顺序处理机：每次执行程序中的一条指令； RAM足够大； 在固定的时间内可把一个数从一个单元取出或者存入。 ????下面将学习算法分析的主要内容： 分析算法时间复杂度的基本步骤 算法时间复杂度的有关概念 分析、求解算法复杂度的数学知识 1.3. 分析复杂度的基本步骤 对算法的分析必须脱离具体的计算机结构和程序设计语言。因此，比较两个算法的好坏，看其中所需的运算时间的长短是由算法所需的运算次数决定的。任何一个算法都可能有几种运算，因此，我们抓住其中影响算法运行时间最大的运算作为基本运算。如在一个字表中寻找Z的问题，把Z和表中元素的比较作为基本运算。两个实数矩阵相乘的问题中，则把两个实数相乘作为基本运算。 1.3. 分析复杂度的基本步骤 一个计算步骤，如果其时间耗费总是不超过某个常量，而与输入和算法无关，则称之为元运算。 1.3. 分析复杂度的基本步骤 ? 同一个问题对不同的输入，基本运算的次数亦可能不同。因此，我们引进问题大小（即规模，size）的概念。例如，在一个姓名表中寻找给定的Z的问题，问题的大小可用表中姓名的数目表示。对于两个实数矩阵相乘的问题，其大小可用矩阵的阶来表示。而对于遍历一棵二叉树的问题，其大小是用树中结点数来表示等等。这样，一个算法的基本运算的次数就可用问题的大小n的函数f(n)来表示。 1.3. 分析复杂度的基本步骤 ?在一个算法中，出现的频数最高（在相差一个常数因子的意义上）的元运算称为基本元算。 1.3. 分析复杂度的基本步骤 在实际中精确地求一个算法的基本运算次数f(n)等于多少，往往不容易，甚至有时根本不可能，有些即使求出结果很长，很繁琐，不易比较，需要简化。这时候我们可以不精确地估计f(n)。此外，我们分析算法的时间目的主要在于，能区分不同算法的优劣，在n很小时候，差别不大，随着n的逐渐增大，差别越来越大，是个极限行为。基于上述原因，引进下面渐近表示的方法。复杂度渐近表示可以将简洁地表示出复杂度的数量级别。 1.3. 分析复杂度的基本步骤 设f(n)和g(n)均是从自然数集到非负实数集上的函数。如果存在常数c0和一个自然数n0，使得对于任意的n≥n0 ，均有????????f(n)≤cg(n),则f(n)=O(g(n))。 含义：阶至多为g(n)的函数，即上限。 读法： O(g(n))读作“大Oh g(n)”。 1.3. 分析复杂度的基本步骤 设f(n)和g(n)均是从自然数集到非负实数集上的函数。如果存在常数c0和一个自然数n0，使得对于任意的n≥n0 ，均有????????f(n)≥cg(n),则，f(n)= ?(g(n))。? 含义： 阶至少为g(n)的函数，即下限