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第二章 极限与连续 习题2-1 1、观察下列数列的变化趋势,判别哪些数列有极限,如有极限,写出它们的极限. (1) ； 有. . (2) ； 有. . (3) ； 无. (4) ； 无. (5) ； 有. . (6) ； 无. (7) ； 有. . (8) . 无. 2、设,,,问 (1) (2) 应为何值时,才能使与其极限之差的绝对值小于？ 解：(1) 显然,,可见； (2) 欲使,只需即可. 3、对于数列,,给定(1);(2); (3)时,分别取怎样的,才能使当时,不等式成立,并利用极限定义证明此数列的极限为. 解：欲使,只需. (1)若给定,此时,取即可; (2)若给定,此时,取即可; (3)若给定,此时,取即可; 下面证明. 欲使,只需. ,取,当时,恒有, 所以 . 4、用极限定义考查下列结论是否正确,为什么？ (1)设数列,当越来越大时,越来越小,则. 解：结论错误.例如取,,显然越来越小, 但. (2)设数列,当越来越大时,越来越接近于,则. 解：结论错误.例如取,,显然越来越接近于, 但. (3)设数列,,,当时,有无穷多个 满足,则. 解：结论错误.例如取,,显然,, 那么,,当时,有无穷多个,满足, 但显然不存在. (4)设数列,若对,中仅有有限个不满足,则. 解：结论正确. ,假设仅有不满足, 于是取,那么当时,, 所以. 5、用极限性质判别下列结论是否正确,为什么？ (1)若收敛,则(为正整数)； 解：结论正确.显然是的子数列,故. (2)有界数列必收敛； 解：结论错误.例如取,虽然有界,但显然发散. (3)无界数列必发散； 解：结论正确. 因收敛数列必有界,那么无界数列必发散. (4)发散数列必无界. 解：结论错误.例如取,虽然发散,但显然有界. 6、利用数列的“”分析定义证明下列极限： (1) ； 分析：,欲使,只需或即可. 证明：,取,当时,恒有, 所以 . (2) ； 分析：,欲使, 只需或即可. 证明：,取,当时,恒有 , 所以 . (3) ； 分析：,欲使,只需或即可. 证明：,取,当时,恒有, 所以 . (4) . 分析：,欲使,只需或即可. 证明：,取,当时,恒有, 所以 . 7、若,证明,并举例说明,如果数列有极限,但数列未必有极限. 证明：因,有,时,, 于是 , 所以. 而若取,显然,但显然没有极限. 8、对于数列,若,,,, 证明,. 证明：因,有,时,, 又因,对,时,, 取,当时, 若,有,, 若,有,, 总之,当时,,所以,. 习题2-2 1、用极限定义证明： (1) ； 分析：,欲使,只需即可. 证明：,取,当时,恒有, 所以 . (2) ； 分析：,欲使,只需即可. 证明：,取,当时, 恒有, 所以 . (3) . 分析：,欲使,只需即可. 证明：,取,当时,恒有, 所以 . 2、用极限定义证明： (1) ； 分析：,欲使,只需即可. 证明：,取,当时,恒有, 所以 . (2) . 分析：,欲使,只需即可. 证明：,取,当时,恒有, 所以 . 3、当时,,问等于多少,则当时, ？(提示：因为,所以不妨设). 解：欲使 , 只需即可. 因此,取,当时,有. 4、设作的图形,并讨论时, 的左右极限(利用第1题(3)的结果). 解：(1) 的图形. (2) 令,, 已知,, 于是,. 显然,当时,,于是； 当时,,于是. 5、证明,当时的极限为零. 证明：,取,当时, 恒有, 所以 . 6、函数,回答下列问题： (1)函数在处的左右极限是否存在？ 答：在处的左右极限是均存在. 这是因为：； . (2)函数在处是否有极限？ 答：在处是没有极限. 这是因为：. (3)函数在处是否有极限？ 答：在处有极限. 这是因为：； . 由于,故. 7、证明的充要条件是. 证明:“必要性”,时, ,从而, 当 时, ； 也有,当 时, , 所以 . “充分性” , 当 时, ； 当 时, , 取,当时,有, 所以 . 8、设,证明当充分大时. 证明:因,对于,, 当时, . 所以. 习题2-3 1、根据定义证明： (1) 为当时的无穷小； 证明：,取,当时,恒有, 所以为当时的无穷小. (2) 为当时的无穷小. 证明：,取,当时,恒有, 所以为当时的无穷小. 2、根据定义证明：函数为当时的无穷大,问应满足什么条件,能使？ (1)分析：,欲使,只需即可. 证明：,取,当时,恒有 , 所以 . (2) 欲使,取, 则满足即可. 3、利用有界量乘无穷小依