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第二章 范数理论 实例1 在向量空间C n中, 向量的长度是一种向量范数，称为2-范数或欧氏范数。 定理 范数等价性 定义 算子范数 即由向量范数构造矩阵范数  根据常用的向量1-范数，2-范数及 -范数得到相应的矩阵算子范数 定理3 * * 一、向量范数 二、矩阵范数与算子范数 三、范数的应用 主要内容 第一节 向量范数 主要内容： 1·向量范数的定义及几种常见的向量范数 2·向量范数的等价性 如果函数 则称 为向量x的范数。 满足： 1）正定性 且 2）齐次性 3）三角不等式 对应一个实值函数 范数的性质： 对于向量空间 上的任意向量 , 一、向量范数的定义 性质（1）利用范数的齐次性即可证明。 下面证明（2）。根据三角不等式，有 对任意的 ，可以利用范数定义向量间的距离如下： 证明 易验证条件(i)和(ii)成立，现验证条件(iii)也成立。 下面用到了Chauchy-Schwarz不等式。 两边开方即得证。 证明 范数定义中的条件(i)显然成立， 现验证条件(ii)和(iii)也成立 实例2 在向量空间C n中, 向量分量的最大模是一种向量范数，称为∞ -范数。 反例：设 若令 显然，它满足范数定义中的正定性，但不满足齐次性，因此它不是 中的范数。 对 分别定义三个函数 1－范数， 2－范数(或Euclid范数) ∞－范数(或最大值范数)。 它们均构成范数。 说明：在同一个向量空间，可以定义多种向量范数，而对于同一个向量，不同定义的范数，其大小可能不同。 引理3.1.1 如果实数 则对于任意非负实数a，b，成立 如果实数 成立 则对于任意数组 引理3.1.2（ 不等式） p-范数或 范数 利用上面的两个引理可以证明：在向量空间Cn中，有下面的范数： 说明：在p范数中，若取p1时,它不是范数； 1-范数，2-范数是p分别取1，2时的p范数 而对于p范数与∞－范数有下面的关系 定理 在向量空间C n中, 向量范数满足 证明 当X=0时，结论显然成立。设 则 因为 故 所以 说明： 我们也可以通过已知的范数构造新的向量范数. 例 例 设A是n阶正定实对称矩阵，在向量空间Rn中, 定义向量函数为 试证上述函数是向量范数，称为向量的加权范数或椭圆范数。 所以 是向量范数。 证明 因为A是正定对称矩阵，故存在可逆矩阵P，使得 从而 的连续函数。 对同一个向量用不同的范数度量其值一般是不等的 ，即在不同的范数下，两个向量之间的距离是不等的。但我们将证明它们没有实质上的区别，即范数具有下面所说的等价性 定理:设 是 上的向量范数, 则 是 对于两个向量范数 ，如果存在常数ｍ和Ｍ 则称范数 等价 定理 向量空间 中的任意两个向量范数等价。 使得 容易证明：向量范数的等价具有自反性、对称性和传递性. 首先任一向量范数是 上的一个连续函数 证明 定义Dn是C n的单位球面(有界闭集) 说明：我们证明 上的任一范数都与2-范数等价，再利用范数等价的传递性即可。 因为 故它在Dn上取到最大值m和最小值M 是连续函数， 再利用范数等价的传递性可知： 上的任意两个范数都等价。 向量范数的等价性表明：按不同向量范数定义的向量的收敛性 具有一致性。 注：对于无穷维线性空间，没有这个性质，如，对于 C[0，1]上的如下两范数 若取 则显然有： 所以，对于任意两个实数 ，以下不等式都不可能对所有的n都成立： 第二节 矩阵范数 主要内容： 1·矩阵范数的定义、性质 2·算子范数（由向量诱导的矩阵范数） 3·几种常用的矩阵范数 满足： （1）正定性 且 设 定义一个实值函数 （2）齐次性 （3）三角不等式 则 称为A的相容矩阵范数。 (4)相容性 矩阵范数的性质： 对于两个矩阵范数 ，如果存在常数ｍ和Ｍ 则称范数 等价 使得 矩阵范数同向量范数具有类似的性质，比如等价性： 在 上常用的矩阵范数有： 为Frobenius范数或简称F－范数 称范数 定理1 矩阵Frobenius范数是酉不变的。 成立 即设 则对任意酉矩阵 定理2 设 是 上的相容矩阵范数，则在 上存在与 相容的向量范数 证明：任取一非零向量 定义向量X的范数为 即矩阵范数与向量范数相容 容易验证 是 上的向量范数，并且 对于 的矩阵范数与 上的同类向量范数，如果有