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若不是常系数线性递归方程，则需要用生成函数法。 生成函数法举例：先看一下A(x)*A(x)即A2(x)的展开式形状。 设A(x)=，则A2(x)=*= (a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn+…)(a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn+…)= a02+(a0a1+a1a0)x+(a0a2+a1a1+a2a0)x2 +(a0a3+a1a2+a2a1+a3a0)x3+… + (a0an+a1an-1+…+an-1a1+ana0)xn+…。求解下列非线性递归方程 已知an=a1an-1+a2an-2+ …+an-1a1 (n≥2) 且a1=1，a2=1，a3=2，a4=5，求an。令a0=0，则上述方程可写为：an = a0an+a1an-1+ … +an-1a1+ana0 从2开始对等式两边分别求级数，则有 =(a0an+a1an-1+ … +an-1a1+ana0)设A(x)=是数列{a0, a1,a2,…,an,…}的生成函数（幂函数形式），则有A(x)-a1x-a0=(A(x))2-(a1a0+a0a1)x-a20 ， 整理得(A(x))2-A(x)+x=0。令z=A(x)，则有z2-z+x=0 求解此关于z的一元二次方程式，得A(x)= z=(1)/2 即A(x)应为1/2/2 ∵=， 即的幂级数展开式通项系数为bn=-，an=bn/2而an为正数，∴中符号取为负，于是有 A(x)=1/2-/2，an=（定义为1）。此数称为Catalan数。算法分析中的一些常用数学方法： 1、求和转化为求积分： eg1：已知㏒n!=㏒n+㏒(n-1)+…+㏒2+㏒1= 求㏒n!的不含∑的表达式。 如下图，在区间[1,n+1]中， 曲线y=㏒x之下的面积为， 而㏒n!（）则等于曲线y=㏒ x之下n-1个小矩形的面积之和。 ∴㏒n!。另外不难看出，㏒n!成立（n-1个小矩形均左移一个单位，则可覆盖区间[1,n]上的曲线下的面 于是求和就可转化为求积分。 =(xlnx-x)|= n㏑n – n + 1, 且㏒x=㏒e*㏑x (由x=elnx)，∴㏒n!＞=㏒e (n㏑n-n+1)=n㏒n-n㏒e+㏒e， ㏒n!＜=(n+1)㏒(n+1)-(n+1)㏒e+㏒e, ∵n充分大时上述两项主部均为n㏒n，∴㏒n!= ((n㏒n)。 e.g.2：类似的有：≤≤ ∴≤≤, ∴=(() eg3：=1+≤1+=1+㏑n，另外≥＝㏑(n＋1)∴＝((㏒n) eg4：著名的Stirling公式n!≈也是利用了上述的积分办法 （证明较复杂，省略。有兴趣可参看卢开澄书） 2、代入法求解： e.g. T(n)=设n=2k（因此k=㏒n），于是有：T(n) =2T(n/2) +cn㏒n =2(2T(n/22)+c(n/2)*㏒(n/2))+cn㏒n =22T(n/22)+cn㏒(n/2)+cn㏒n =…… =2kT(n/2k)+cn(㏒(n/2k-1)+㏒(n/2k-2)+……+㏒(n/20)) =dn+cn(㏒21+㏒22+……+㏒2k) =dn+cn=dn+cn=dn+cn+cn 若n(2k，则必有k，使得2k-1 n 2k，令n’=2k，T(n’)。再由nn’，得T(n)T(n’)。 3、函数变形法求解： e.g. T(2k)＝ 令g(k)=T(2k), 则g(k) = 2g(k-1) + ck2k(k≥1)。 再令h(k)=g(k)/2k , 则有g(k)=2kh(k)，且h(0)=g(0)=d。 于是得：2kh(k)=2(2k-1*h(k-1))+ck2k , 即有h(k)=h(k-1)+ck，再用代入法，得h(k)=h(k-1)+ck=h(k-2)+c(k-1)+ck=… =h(0)+c*=d+ck(k+1)/2，∴T(n)=T(2k)=g(k)=2kh(k)=2k(d+ck(k+1)/2) = dn+cn=dn+cn+cn 以上提供了一些求解递归方程的方法。但在实际应用中， 碰到最多得还是形如T(n)=a*T(n/b)+f(n)一类的递归方程， 式中a,b0且一般为正整数， 此类方程可（粗略地）按f(n)(()分为三种情况： 注意: 递归方程T(n)=a*T(n/b)的齐通解为c*，c为待定常数主定理: (参见Corman书P76)若有ε 0, 使f(n)=O() (即f(n)的量级多项式地小于的量级), 则T(n)= ( ()。 若f(n)= (() (即f(n)的量级等于的量级), 则T(n) =(()。 若f(n)= ((), 则T(n)=(( )。 若有ε0, 使f(n)=(() (即f(n)的量级多项式地大于的量级), 且满足正规性条件： 存在常数c1, 使得对所有足够大的n，有a*f(n/