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第七讲 图像数字化 【目录】 一、概述 1 二、取样 2 三、量化 5 1、均匀量化 5 2、非均匀量化 6 四、重建 7 【正文】 一、概述 图像进入计算机，是进行数字图像处理的第一步。一幅黑白图像可以看成是一个二维连续函数：，其函数值表示为位置(x,y)处图像的亮度。计算机中的数字图像是以矩阵或二维数组来表示的：。数字图像的处理就是对矩阵进行运算，得到所需要的东西。 从二维连续连续函数到数字图像矩阵，涉及到在不同位置上取出函数值作为样本（取样），并用一组计算机能实现的离散数值来表示这些样本点的值（量化）两个步骤，这两个步骤统称为图像的数字化。 现在的问题是，经数字化后得到的图像能否保持的原有信息，即在空间上对取样的密度多大才是合适的，在幅度上以多少等级表示样本的亮度才足够，然后，用怎样的方法才能从恢复出，即重建图像，这是今天要讨论的问题。 二、取样 【导语】 取样是图像进入计算机的第一个步骤。事实上，在数字图像处理学诞生之前，对某些图像已经采用取样技术进行处理了。如传送电视图像，需要在摄像管上逐行扫描获取图像信息，经光电转换后，把图像信息以电的形式送出去。上述过程是在空间的一个方向上完成对图像的取样，标准电视的取样点是625行。 在数字图像中，需要在空间两个方向上都进行取样。对图像沿方向取点，沿方向取点，便得到了矩阵。 【取样】 设一个二维取样函数： 如下图所示： 它是一个沿方向间隔为，沿方向间隔为的二维狄拉克函数阵列，如右图。取样后得到的图像可以表示为： 根据狄拉克函数的筛选性质，有： 说明这一步相当于以矩形点阵均匀取样，取样点的位置在，组成均匀的网格点上。其中。 【推导】 现在看看取样前后的谱函数的形式： 先求。对于： 因为其中是周期为的周期函数。周期函数可以展开为傅立叶级数形式。有： 其中： 所以有：和 则： 根据傅立叶变换的线性性质： 根据傅立叶变换的平移性质： 再求，有： 由线性性得： 由筛选性得： 【分析】 现在来看看取样前后函数频谱的关系。假设是一个有限带宽函数，表示为： 若，则有： 在区域之外，。则有下面图形： 表明弃养图像的谱是原来的谱沿轴和轴分别以和无限周期性重复的结果。显然，如果存在一个理想的低通滤波器： 则： 存在的条件是： ，即。 【定理】 说明满足以上条件，相邻的R域不会彼此混叠，可以用理想的低通滤波器取出一个完整的R域，以确保取样后不失真地再现原信号，这就是取样定理。 三、量化 对图像的取样完成之后，得到取样值在进入计算机前，还需要量化。 具体地，在样本值的取值范围内进行分层，然后用单个值来代表这一层内所有的值。根据计算机内整数存放的惯例，可以把样本值的取值范围分成个层次，一般，即可将象素灰度值分成64、128、256个层次，就是通常所说的64、128、256个灰度级。 层次越多，则由量化了的取样值恢复的实际图像越接近原图。但量化噪声总是存在的。 最简单的量化方案是均匀量化，即子区间长度均匀。 然而如果样本值在某个取值范围内频繁出现，而在其它范围内很少出现，可以进行非均匀量化。 1、均匀量化 对取样后的图像，设： 则，均匀量化可用下面的图来表示： 即对量化成,则： 且当时，对应的。 注意，这里的是一列实数值，对应原始图像的小范围的亮度值。在计算机中，对量化的实数值在进行编码。通常的编码方式是自然编码法，我们称BCD编码。 下面讨论均匀量化的误差： 设的概率密度用表示，则： 。 如果图像的灰度分布是均匀的，即： 则： 。 当确定之后，误差也就确定了。 前面指出，但是没有指出在区间的位置，显然，取值不同，也不同。为得到的最小值，可： ，即，得到最佳量化值：。 设子区间的长度为，则，有： 可见，当量化层次加大时，成比例缩小，量化误差也减少了。 2、非均匀量化 已有取样值，其值分布在，并已知在中取值的概率密度为。现在从量化误差最小的角度，来选定每个子区间的。 是子区间上的一个确定值，因此显然大的位置，子区间应该取的小一些，小的位置，子区间应该取的大一些，这种量化称非均匀量化。 现在对于： 令： ，得到：...① ，得到...② 即是量化值的中间值。而是子区间上构成的曲边梯形的形心。 【解法】 已知：、、、，求、。 均匀量化是非均匀量化的一个特例。 四、重建 图像的重建是图像取样的逆过程。完成从图像到连续图像的变换。当满足采样定理时，有： 即： 因为： 所以： 则： 又： 则： 表明，重建图像是位于上的许多个二维的sinc函数加权求和的结果。 一维的情况： 。 一般采用简单的插值来重建图像。 7-100000001 …… k个区间 采样后的频谱图 采样前的频谱图 R域 比较取样前 后频谱关系 求傅立叶变换 求傅立叶变换 采样图像 数字图像 原始图像 量化 取样 公