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第七章传递函数矩阵的矩阵分式描述与结构特性 引言 7.1 矩阵分式描述 MFD实质上就是把有理分式矩阵形式的传递函数矩阵G(s)表示为两个多项式矩阵之“比”。MFD形式上则是对标量有理分式形式传递函数g(s)相应表示的一种自然推广。 数学上，对q×p有理分式矩阵G(s)，总能因式分解成： 右矩阵分式描述： G(s) = Nr(s)Dr-1(s) (6-2)和 左矩阵分式描述： G(s) = Dl-1(s) Nl(s) 其中 右分母矩阵： p×p 阶方阵Dr(s)；右分子矩阵： q×p 阶矩阵Nr(s)； 左分母矩阵： q×q 阶方阵Dl(s)； 左分子矩阵： q×p 阶矩阵Nl(s)。 【例7-1】给定2×3传递函数矩阵G(s)为 由此可以导出G(s)的左右MFD为 (2) MFD的次数  对传递函数矩阵G(s)的一个右MFD，规定 Nr(s)Dr-1(s) 的次数 = deg det Dr(s) (7 –4)对传递函数矩阵G(s)的一个左MFD，规定 Dl-1(s)Nl(s) 的次数 = deg det Dl(s) (7 –5) 注：对于同一个G(s)，其右MFD的次数和左MFD的次数一般不相等。 对于传递函数矩阵G(s)的MFD，无论是右MFD还是左MFD，表征其结构特征的两个基本特性为真性（严真性）和不可简约性。 【例7-4】矩阵 G(s) = Nr(s)Dr-1(s)，多项式矩阵Nr(s) 、Dr(s)如下 定理7-2 设Nr(s)和Dr(s) 是r×m和 m×m 阶多项式矩阵，且Dr(s) 是列既约的，则有理矩阵 Nr(s)Dr-1(s)是真性(严真性)有理矩阵的充要条件是 4 既约矩阵分式 7-2 规范矩阵分式描述 传递函数矩阵G(s)的MFD具有不惟一属性，可能给某些问题的分析带来困难。传递函数矩阵的MFD惟一化的途径是对MFD分母矩阵限定为规范型，从而得到规范MFD。本节简单讨论埃米特（Hermite）型MFD和波波夫（Popov）型MFD 。 定义7-2 [行Hermite型MFD] 对于q×p传递函数矩阵G(s)的左MFD，G(s) = Dlh-1(s)Nlh(s) ， 如果q×q分母矩阵Dlh(s)具有行Hermite型： 2 Popov型MFD 对q×p传递函数矩阵G(s)，给出Popov型右MFD和Popov型左MFD的定义。 7-3 史密斯-麦可米伦型 史密斯-麦可米伦（Smith-McMillan）型是有理分式矩阵的一种重要规范型。由B. McMillan于1952年在推广多项式矩阵的Smith型基础上提出。它是分析传递函数矩阵的极点和零点的重要的概念性和理论性工具。 2 Smith-McMillan型构造原理 对于q×p有理分式矩阵G(s)，设 r = Rank G(s) ≤ min{q, p}则必存在q×q和p×p单模阵U(s)、V(s)，使得变换后传递函数矩阵U(s)G(s)V(s)为Smith-McMillan型。 化N(s)为Smith型 3 Smith-McMillan型的基本特性 (5) M(s)的MFD表示： 对秩为r的q×p传递函数矩阵G(s)，其Smith-McMillan型M(s)为 如若引入 7-4 传递函数矩阵的极点、零点和结构指数 MIMO线性时不变系统的极点、零点按复平面上分布区域可区分为有限极点零点和无穷远处极点零点。 定义7-5 [有限极点零点Rosenbrock 定义]对秩为r的q×p传递函数矩阵G(s)，基于式（7-70）给出的Smith-McMillan型M(s)，有 G(s)有限极点 = “M(s)中 φi(s) = 0 根， i=1, 2, … , r ” (7-71)