证明或判断等差（等比）数列的常用方法.doc

证明或判断等差（等比）数列的常用方法 湖北省 王卫华 玉芳 翻看近几年的高考题，有关证明、中，若（为常数）或（为常数），则数列为等差（等比）数列．这是证明数列为等差（等比）数更最主要的方法．如： 例1．（2005北京卷）设数列的首项，且， 记． （Ⅰ）求；（Ⅱ）判断数列是否为等比数列，并证明你的结论． 解：（Ⅰ）； （Ⅱ），所以， 所以， 猜想：是公比为的等比数列． 证明如下：因为 所以是首项为，公比为的等比数列． 评析：此题并不知道数列的通项，先写出几项然后猜测出结论，再用定义证明，这是常规做法。 例2．（2005山东卷）已知数列的首项，前项和为，且（Ⅰ）证明数列是等比数列；（Ⅱ）略． 解：由已知可得两式相减得，即，从而， 当时，，所以， 又，所以，从而． 故总有，又，从而． 所以数列是等比数列． 评析：这是常见题型，由依照含的式子再类似写出含的式子，得到的形式，再利用构造的方法得到所要证明的结论．本题若是先求出通项的表达式，则较繁． 注意事项：用定义法时常采用的两个式子和有差别，前者必须加上“”，否则时无意义，等比中一样有：时，有（常数）；②时，有（常数）． 二．运用等差或等比中项性质 是等差数列，是等比数列，这是证明数列为等差（等比）数列的另一种主要方法． 例3．（2005江苏卷）设数列的前项为，已知，且其中为常数． （1）求与的值；（2）证明数列为等差数列；（3）略． 解：（1）由，得． 把分别代入 ，得 解得，，． (Ⅱ)由(Ⅰ)知，，即 ， ① 又． ② ②-①得， 即． ③ 又． ④ ④-③得，，∴， ∴，又， 因此，数列是首项为1，公差为5的等差数列． 评析：此题对考生要求较高，通过挖掘的意义导出递推关系式，灵活巧妙地构造得到中项性质，这种处理大大简化了计算． 例4．（高考题改编）正数数列和满足：对任意自然数成等差数列，成等比数列．证明：数列为等差数列． 证明：依题意，，且， ． ． 由此可得．即． 数列为等差数列． 评析：本题依据条件得到与的递推关系，通过消元代换构造了关于的等差数列，使问题得以解决． 三．运算数学归纳法 这种方法关键在于猜想要正确，用数学归纳法证明的步骤要熟练，从“时命题成立”到“时命题成立”要会过渡． 例5．(2004全国高考题)数列的前项和记为，已知，．证明：数列是等比数列． 证明：由，，知， ，猜测是首项为1，公比为2的等比数列． 下面用数学归纳法证明：令. (1)当时，，成立． (2)当时，，成立． 假设时命题成立，即． 那么当时，，命题成立． 综上知是首项为1，公比为2的等比数列． 例6．（2005浙江卷）设点和抛物线其中，由以下方法得到：，点在抛物线上，点到的距离是到上点的最短距离，，点在抛物线上，点到的距离是到上点的最短距离． （1）求及的方程．（2）证明是等差数列． 解：（I）由题意得：． 设点是上任意一点，则 令则 由题意：即 又在上， 解得：，故方程为 (II)设点是上任意一点，则 令， 则． 由题意得g，即 又 即 （*） 下面用数学归纳法证明 ①当时， 等式成立时，等式成立，即 时，由（*）知 　　 即当时，等式成立成立是等差数列． 评析：例5是常规的猜想证明题，考查学生掌握猜想证明题的基本技能、掌握数列前项和解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑是公比不相等的两等比数列，．证明数列不是等比数列． 证明：设的公比分别为，，，为证不是等比数列只需证．事实上， ，又不为零，，故不是等比数列． 评析：本题主要考查等比数列的概念和基本性质、推理和运算能力对逻辑思维能力有较高要求．要不是等比数列，只要由特殊项（如）就可否定．一般地讲，否定性的命题常用反证法证明其思路充分说明特殊化的思想方法与正难则反的思维策略的重要性??? 五．看通项与前项和通项（为常数），是等差数列通项(均为不为0的常数，)的形式，则数列是等数列的前项和n能表示成 (a，b为常数等差数列n能表示成(均为不等于0的常数且q≠1)的形式，则数列是等数列2001年S是数列的前项和，,则是( 　　). Ａ．等比数列，但不是等差数列 Ｂ.等差数列，但不是等比数列 Ｃ．等差数列，而且也是等比数列 Ｄ.既非等比数列又非等差数列 解析：用到上述方法，一下子就知道答案为B，大大节约了时间，同时大大提高了命中率． 六．熟记一些常规结论，有助于解题 若数列是公比为的等比数列，则 （1）数列（为不等于零的常数）仍是公比为的等比数列； （2）若是公比为的等比数列，则数列是公比为的等比数列； （3）数列是公比为的等比数列； （4）