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谈数学思想在解题中的运用 温溪一中 徐益松 【典型例题】 （一）数形结合思想 数形结合在数学中占有非常重要的地位。“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数与几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合。 例1. 已知锐角，求。 解析：同角的不同名三角函数之间的关系初中未提及，求三角函数及已知三角函数题目都要联想到直角三角形。 以α为一角构造直角三角形，如图所示。 因为 所以设，则 所以 （二）分类讨论思想 分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分类解决。分类讨论题覆盖知识点较多，有利于考查同学们的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏地分析讨论”。 例2. 已知反比例函数和一次函数，其中一次函数的图象经过两点。 （1）求反比例函数的解析式； （2）如图所示，已知点A是上述两个函数的图象在第一象限的交点，求点A的坐标； （3）利用（2）的结果，回答：在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由。 分析：（1）由一次函数的图象经过两点，代入消去a、b，可得，进而可确定反比例函数的关系式。 （2）将与联立成方程组，易求出点A的坐标。 （3）应根据OA为腰和底进行分类，结合（2）探求出点P的存在性。 解：（1）依题意可得： 两式相减，得： 所以反比例函数的解析式为 （2）由得 经检验与都是原方程组的解。 因为A点在第一象限，所以A点坐标为（1，1）。 （3），OA与x轴所夹锐角为45° 如图所示，①当OA为腰时，由OA＝OP，得；由OA＝AP，得。 ②当OA为底时，得 所以这样的点有4个，分别是 （三）方程思想 方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决。方程思想是最重要的一种数学思想，在数学解题中所占比重较大，综合知识强、题型广、应用技巧灵活。 例3. 如图所示，已知△ABC中，∠C＝90°，BC：AC＝3：4，AB＝10，求BC，AC的长度。 解析：Rt△ABC中，BC和AC关系很明显，已知AB的长度，可结合勾股定理，利用方程很快求解。 因为BC：AC＝3：4 故设BC＝3k，则AC＝4k 又因为 所以 解得： 知 例4. （2004年重庆市北碚区中考试题） 如图所示，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角形PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A，D重合），在AD上适当移动三角板顶点P， （1）能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时AP的长，若不能，请说明理由。 （2）再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE＝2cm？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由。 解析：（1）能。若设AP＝x cm，则 易得△ABP∽△DPC 于是有，即AB·DC＝DP·AP 有，即 所以有 两边开平方，得： 故AP＝2cm或AP＝8cm （2）能。如图所示，延长DC交PF于点Q，设AP＝x cm，CQ＝y cm 由于ABCD是矩形，所以易得△BAP∽△ECQ，△BAP∽△PDQ 所以AP·CE＝AB·CQ，AP·PD＝AB·DQ 于是有和，则 ，即 于是 故AP＝4cm 说明：本例在灵活运用了相似三角形的知识的同时，充分运用了方程思想使问题获解。 例5. 已知，如图所示，∠C＝90°，∠ABC＝45°，∠D＝30°，BD＝30，求AC。 解析：AC既在Rt△ABC中又在Rt△ADC中，这两个三角形中都只知一角，能直接求得，考虑到DB＝DC－BC，由已知角可以得出DC，BC与AC的关系，再利用方程求解。 设AC＝x 在Rt△ABC中，，则 在Rt△ADC中，，则 又 解之，有： 即AC长为 （四）待定系数法 待定系数法是确定代数式中某项的系数的数学方法。它是方程思想的具体运用。其一般步